Calculadora de probabilidad

Calculadora de probabilidad de dos eventos

Cuando conoce la probabilidad de dos eventos independientes, nuestra Calculadora de probabilidad de dos eventos le permite determinar fácilmente si ocurrirán al mismo tiempo. Solo necesita ingresar las probabilidades de ambos eventos (A y B) en la herramienta. Al instante, la calculadora le mostrará los valores de la unión, la intersección y otras probabilidades relacionadas, acompañadas de gráficos visuales como los diagramas de Venn.

Solucionador de probabilidad para dos eventos

Con nuestro Solucionador de probabilidad para dos eventos, puede calcular múltiples escenarios probabilísticos con tan solo ingresar dos valores conocidos. Esta función es indispensable cuando desconoce una o ambas probabilidades iniciales de dos eventos. Además, la herramienta no solo ofrece el resultado final, sino que muestra la respuesta paso a paso para que comprenda el proceso de cálculo.

Probabilidad de una serie de eventos independientes

Utilice la Calculadora de probabilidad de una serie de eventos independientes para determinar las posibilidades de que, en un mismo experimento, múltiples eventos independientes ocurran de manera consecutiva. Para obtener el resultado, simplemente debe indicar en la calculadora el número de veces que se repite dicho evento.

Probabilidad de una distribución normal

Nuestra Calculadora de probabilidad de distribución normal es la herramienta ideal para analizar el área bajo una curva normal. Solo necesita introducir la media μ, la desviación estándar σ y los límites. En segundos, el sistema calculará la probabilidad exacta para los límites establecidos y le proporcionará los intervalos de confianza para un rango de niveles de confianza.

Introducción a la probabilidad

La probabilidad es la medida estadística que indica la posibilidad de que ocurra un evento. Cuando es absolutamente seguro que un evento sucederá, su probabilidad es 1. Por el contrario, si es imposible que ocurra, su probabilidad es 0. Como resultado, el valor probabilístico de cualquier evento siempre se sitúa entre 0 y 1. Nuestra calculadora de probabilidad simplifica al máximo estos conceptos, permitiéndole resolver cálculos estadísticos complejos de forma increíblemente sencilla.

Reglas de operaciones de eventos

En estadística, a cualquier conjunto de resultados de un experimento se le denomina evento. Un evento puede ser cualquier subconjunto dentro de un espacio muestral. Las principales reglas de operaciones de eventos son el complemento, la intersección y la unión. A continuación, aprenderemos cómo aplicar cada una de estas reglas utilizando un ejemplo práctico.

Ejemplo

Suponga que su universidad tiene varias facultades, incluida la Facultad de Administración de Empresas. Además, la institución cuenta con estudiantes internacionales. Como parte de un proyecto académico, usted debe realizar entrevistas a los estudiantes del campus y decide empezar con el primer estudiante que cruce la puerta. Con base en los datos de la universidad, usted conoce las siguientes probabilidades. Digamos que:

A = El primer alumno es de la Facultad de Administración de Empresas.

B = El primer estudiante es un estudiante internacional.

P(A) = 0,6

P(B) = 0,3

Complemento de un evento

El complemento de un evento es el conjunto de todos los resultados en un espacio muestral que no están incluidos en ese evento específico.

Por ejemplo, el complemento del evento A significa que el primer estudiante seleccionado no es de la Facultad de Administración de Empresas. Esto se puede denotar matemáticamente por $A\prime$ o Aᶜ.

Mostremos el complemento del evento A en un diagrama de Venn:

En el diagrama de Venn anterior, el área coloreada representa el complemento del evento A.

El área total del rectángulo representa la probabilidad general del espacio muestral, que es precisamente igual a 1. El espacio fuera del círculo A muestra la probabilidad del complemento del evento A. Este diagrama nos permite establecer la siguiente relación:

$$P\left(A\right)+P\left(A^\prime\right)=1$$

Por lo tanto,

$$P\left(A^\prime\right)=1-P\left(A\right)$$

Encontremos las siguientes probabilidades basándonos en nuestro ejemplo:

La probabilidad de que el primer estudiante que seleccione para la entrevista no sea de la Facultad de Administración de Empresas:

$$P\left(A^\prime\right)=1-P\left(A\right)=1-0,6=0,4$$

La probabilidad de que el primer estudiante que seleccione para la entrevista no sea un estudiante internacional:

$$P\left(B^\prime\right)=1-P\left(B\right)=1-0,3=0,7$$

Intersección de eventos

La intersección de dos eventos A y B es el conjunto de todos los elementos que son comunes a ambos eventos. La palabra "Y" se utiliza con frecuencia para indicar la intersección de dos conjuntos (ocurre A y ocurre B).

La intersección del evento A y el evento B en nuestro ejemplo significa seleccionar a un estudiante que sea internacional y que, al mismo tiempo, pertenezca a la Facultad de Administración de Empresas. Esto se denota de la siguiente manera:

$$A\cap B$$

Mostremos la intersección de los eventos A y B en un diagrama de Venn:

En el diagrama de Venn anterior, el área coloreada en el centro representa la intersección de los eventos A y B.

Ahora, digamos que el evento de seleccionar a un estudiante local para la entrevista es C. Representemos los eventos A y C en un nuevo diagrama de Venn:

Seleccionar a un estudiante que sea internacional y que simultáneamente sea local es imposible. Suponga que el primer estudiante que elige es internacional; en ese caso, se excluye automáticamente la posibilidad de que sea un alumno local. Por lo tanto, los eventos B (internacional) y C (local) —o en este contexto de ilustración, A y C si fueran opuestos— son eventos mutuamente excluyentes.

Los eventos mutuamente excluyentes no comparten ningún elemento en común. Por ende, la intersección de dos eventos mutuamente excluyentes es un conjunto vacío.

$$A\cap C=φ$$

La probabilidad de la intersección de eventos se puede calcular mediante diferentes métodos. Para los eventos A y B, las fórmulas se pueden escribir de la siguiente manera:

$$P\left(A\cap B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(A\cup B\right)$$

$$P\left(A\cap B\right)=P(A)× P(B/A)$$

$$P\left(A\cap B\right)=P(B)× P(A/B)$$

Eventos independientes

Los eventos independientes son aquellos que no influyen entre sí. En nuestro ejemplo, el hecho de que un estudiante pertenezca a la Facultad de Administración de Empresas no afecta en absoluto las probabilidades de que sea un estudiante internacional o no. Por lo tanto, podemos afirmar que el evento A y el evento B son dos eventos independientes.

Cuando los eventos son independientes, la probabilidad de que ocurra uno de ellos no depende de la ocurrencia del otro. Por consiguiente:

$$P(B/A)=P(B)\ y\ P(A/B)=P(A)$$

Puede usar estas relaciones para simplificar la fórmula que aprendimos previamente y así determinar la probabilidad de la intersección de dos eventos independientes:

$$P\left(A\cap B\right)=P\left(A\right)× P\left(\mathrm{B/A}\right)=P(A)× P(B)$$

$$P\left(A\cap B\right)=P\left(B\right)× P\left(\mathrm{A/B}\right)=P(B)× P(A)$$

En resumen, puede calcular la intersección de dos eventos independientes simplemente multiplicando la probabilidad individual de esos dos eventos:

$$P\left(A\cap B\right)=P\left(A\right)× P\left(B\right)=P(B)× P(A)$$

Dado que nuestros eventos A y B son independientes, determinemos la probabilidad de que el primer estudiante seleccionado para la entrevista sea de la Facultad de Administración de Empresas y, a su vez, sea un estudiante internacional:

$$P\left(A\cap B\right)=P\left(A\right)× P\left(B\right)=0,6× 0,3=0,18$$

Unión de eventos

La unión de dos eventos produce un nuevo evento que agrupa todos los elementos de uno, del otro, o de ambos eventos. La palabra "O" se utiliza típicamente para describir la unión de dos eventos (ocurre A, ocurre B, o ambos).

En nuestro ejemplo, la unión de los eventos A y B significa seleccionar a un estudiante que sea internacional, que sea de la Facultad de Administración de Empresas, o ambas cosas a la vez. Esto se denota de la siguiente manera:

$$A\cup B$$

Mostremos la unión de los eventos A y B en un diagrama de Venn:

El área coloreada del diagrama de Venn anterior representa la unión completa de los eventos A y B.

Para calcular la probabilidad del evento A o el evento B, debemos sumar las probabilidades individuales de ambos eventos y luego restarle la probabilidad de su intersección (para no contarla dos veces).

La probabilidad de la unión de los eventos A y B se formula así:

$$P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(A\cap B\right)$$

Podemos modificar esta fórmula para crear una versión específica que encuentre la unión de dos eventos independientes, especialmente cuando se desconoce el valor de su intersección:

Sabiendo que, si los eventos son independientes:

$$P\left(A\cap B\right)=P(A)× P(B)$$

Por lo tanto, la fórmula adaptada es:

$$P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P(A)× P(B)$$

Calculemos cuál sería la probabilidad de la unión de los eventos A y B. Es decir, ¿cuál es la probabilidad de elegir a un estudiante que sea de Administración de Empresas, que sea internacional, o que cumpla ambas condiciones?

$$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)=0,6+0,3-0,18=0,72$$

Gracias a nuestra Calculadora de probabilidad de dos eventos (o el Solucionador de probabilidad), usted puede completar todos estos cálculos matemáticos sin esfuerzo. Utilícela no solo para obtener resultados instantáneos, sino también para verificar sus propios cálculos paso a paso.

Distribución normal

La distribución normal, también conocida como campana de Gauss, es una distribución de probabilidad simétrica. Se caracteriza por tener una media, una mediana y una moda idénticas. En esta distribución, el 50 % de los datos se agrupa por encima de la media y el otro 50 % por debajo. La curva de distribución normal se extiende infinitamente en ambas direcciones, pero nunca llega a tocar el eje X. Además, el área total bajo la curva es siempre igual a 1.

Si una variable aleatoria X sigue una distribución normal con parámetros de media μ y varianza σ², lo escribimos matemáticamente como X ~ N(μ, σ²).

Probabilidad de distribución normal

La función de densidad de probabilidad de una distribución normal se define mediante la siguiente fórmula:

$$f\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{2π\sigma^2}}× e^\frac{-{(x-\mu)}^2}{2\sigma^2}$$

En esta función:

• μ es la media de la distribución;
• σ² es la varianza de la distribución;
• π es una constante equivalente a 3,14;
• e es la base del logaritmo natural, equivalente a 2,7182.

Dado que existe un número infinito de curvas normales diferentes (por las múltiples combinaciones de medias y desviaciones estándar), es imposible crear una tabla de probabilidad para cada una. Como solución estadística, se utiliza la distribución normal estándar. Una curva que tiene una media de 0 y una desviación estándar de 1 se conoce como distribución normal estándar.

Para calcular la probabilidad dentro de una distribución normal, primero debemos transformar nuestra distribución real en una distribución normal estándar. Esto se logra calculando la puntuación Z (valor Z) y utilizando la tabla Z correspondiente. Nuestra calculadora de probabilidad normal automatiza todo este proceso, funcionando como una herramienta de distribución estándar que le ofrece probabilidades precisas para diversos niveles de confianza.

$$Z=\frac{X-\mu}{\sigma}$$

La curva de distribución normal estándar es fundamental para resolver una amplia variedad de problemas estadísticos del mundo real, especialmente al trabajar con variables continuas. Una variable continua es aquella que puede asumir cualquier valor dentro de un rango, incluyendo decimales (por ejemplo, la altura, el peso, el tiempo o la temperatura).

A continuación, aprenderemos cómo calcular la probabilidad de una distribución normal con un ejemplo práctico.

Ejemplo

Los resultados del examen de estadística de su clase siguen una distribución normal, con una puntuación media de 65 y una desviación estándar de 10. Si se selecciona a un estudiante al azar, determine la probabilidad de los siguientes escenarios:

• La puntuación del alumno es igual o superior a 70.
• La puntuación del alumno es inferior a 70.
• La puntuación del alumno está entre 50 y 70.

Solución

$$P\left(X≥70\right)=P\left(Z≥\frac{70-65}{10}\right)=P\left(Z≥0,5\right)=1-0,6915=0,3085$$

$$P\left(X<70\right)=P\left(Z<\frac{70-65}{10}\right)=P\left(Z<0,5\right)=0,6915$$

$$P\left(50<X<70\right)=P\left(\frac{50-65}{10}<Z<\frac{70-65}{10}\right)=P\left(-1,5<Z<0,5\right)=0,4332+0,1915=0,6247$$

Realizar el cálculo manual del área bajo una curva normal implica múltiples pasos y requiere el manejo constante de tablas Z. Para ahorrar tiempo y evitar errores, nuestra Calculadora de probabilidad de distribución normal le permite obtener la respuesta exacta introduciendo tan solo cuatro valores. Para aprovecharla al máximo, simplemente ingrese la media, la desviación estándar y los límites (izquierdo y derecho) de su problema.