Wahrscheinlichkeitsrechner

Wahrscheinlichkeitsrechner für zwei Ereignisse

Wenn die Wahrscheinlichkeiten zweier unabhängiger Ereignisse bekannt sind, können Sie mit diesem Rechner deren gemeinsames Auftreten schnell und einfach bestimmen. Geben Sie dazu einfach die Wahrscheinlichkeiten für Ereignis A und Ereignis B in den Wahrscheinlichkeitsrechner ein. Das Tool berechnet sofort die Vereinigungsmenge, die Schnittmenge sowie weitere relevante Wahrscheinlichkeiten der beiden unabhängigen Ereignisse und veranschaulicht diese übersichtlich mithilfe von Venn-Diagrammen.

Wahrscheinlichkeiten berechnen: Der Solver für zwei Ereignisse

Sie können verschiedenste Wahrscheinlichkeiten zweier Ereignisse ermitteln, solange Sie zwei beliebige Eingabewerte in den Solver eintragen. Dies ist besonders hilfreich und wichtig, wenn Ihnen eine oder beide Ausgangswahrscheinlichkeiten fehlen. Unser Rechner liefert Ihnen nicht nur das präzise Endergebnis, sondern zeigt Ihnen auch den detaillierten Rechenweg Schritt für Schritt an.

Wahrscheinlichkeit einer Serie unabhängiger Ereignisse

Nutzen Sie unseren Rechner für Serien unabhängiger Ereignisse, um die Gesamtwahrscheinlichkeit zu bestimmen, wenn ein Experiment mehrere nacheinander stattfindende, unabhängige Ereignisse umfasst. Sie müssen in diesem Rechner lediglich angeben, wie oft das jeweilige Ereignis eintritt.

Wahrscheinlichkeit der Normalverteilung berechnen

Der Normalverteilungs-Rechner ist ein praktisches Hilfsmittel zur Bestimmung von Wahrscheinlichkeiten unter der Gaußschen Glockenkurve (Normalkurve). Geben Sie einfach den Erwartungswert (Mittelwert) μ, die Standardabweichung σ und die gewünschten Intervallgrenzen ein. Der Rechner ermittelt präzise die Wahrscheinlichkeiten für die festgelegten Grenzen sowie die Konfidenzintervalle für verschiedene Konfidenzniveaus.

Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung

Die Wahrscheinlichkeit beschreibt die Chance, dass ein bestimmtes Ereignis eintritt. Tritt ein Ereignis mit absoluter Sicherheit ein, beträgt seine Wahrscheinlichkeit 1. Ist es hingegen unmöglich, liegt die Wahrscheinlichkeit bei 0. Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses bewegt sich demnach immer im Intervall zwischen 0 und 1. Mit einem Wahrscheinlichkeitsrechner wird die Berechnung komplexer stochastischer Ereignisse unglaublich einfach und fehlerfrei.

Regeln und Operationen für Ereignisse

Jedes mögliche Ergebnis oder jede Gruppe von Ergebnissen eines Zufallsexperiments wird als Ereignis bezeichnet. Mathematisch gesehen ist ein Ereignis eine Teilmenge des Ergebnisraums (Stichprobenraums). In der Stochastik gibt es grundlegende Operationen für Ereignisse: das Komplement (Gegenereignis), die Schnittmenge und die Vereinigungsmenge. Schauen wir uns diese mathematischen Regeln anhand des folgenden Beispiels genauer an.

Beispiel

An Ihrer Hochschule gibt es verschiedene Fakultäten, darunter auch eine wirtschaftswissenschaftliche Fakultät (BWL). Zudem sind internationale Studierende an der Hochschule eingeschrieben. Für ein Projekt müssen Sie Interviews mit den Studierenden führen. Sie beschließen, die erste Person zu befragen, die durch das Haupttor kommt. Folgende Wahrscheinlichkeiten sind Ihnen bekannt. Nehmen wir an:

A = Der erste Student kommt aus der Wirtschaftsfakultät.

B = Der erste Student ist ein internationaler Student.

P(A) = 0,6

P(B) = 0,3

Das Komplement eines Ereignisses (Gegenereignis)

Das Komplement (oder Gegenereignis) eines Ereignisses umfasst die Menge aller möglichen Ergebnisse in einem Ergebnisraum, die nicht in diesem spezifischen Ereignis enthalten sind.

Das Komplement von Ereignis A bedeutet in unserem Beispiel, dass der erste befragte Student nicht von der Wirtschaftsfakultät kommt. Dies wird mathematisch als \$A\prime\$ oder Aᶜ bezeichnet.

Betrachten wir das Komplement von Ereignis A in einem Venn-Diagramm:

Im obigen Venn-Diagramm markiert der farbige Bereich das Komplement des Ereignisses A.

Die Gesamtfläche des Rechtecks entspricht der Gesamtwahrscheinlichkeit des Ergebnisraums. Diese ist immer exakt eins (1). Die Fläche außerhalb des Kreises A repräsentiert die Wahrscheinlichkeit für das Komplement des Ereignisses A. Mithilfe des Venn-Diagramms lässt sich folgende grundlegende Gleichung aufstellen:

$$P\left(A\right)+P\left(A^\prime\right)=1$$

Daraus folgt:

$$P\left(A^\prime\right)=1-P\left(A\right)$$

Berechnen wir nun die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten.

Die Wahrscheinlichkeit, dass die erste für das Interview ausgewählte Person nicht der Wirtschaftsfakultät angehört, lässt sich wie folgt berechnen:

$$P\left(A^\prime\right)=1-P\left(A\right)=1-0,6=0,4$$

Die Wahrscheinlichkeit, dass die erste ausgewählte Person kein internationaler Student ist, lautet:

$$P\left(B^\prime\right)=1-P\left(B\right)=1-0,3=0,7$$

Schnittmenge von Ereignissen

Die Schnittmenge zweier Ereignisse A und B umfasst alle Elemente (Ergebnisse), die in beiden Ereignissen gleichzeitig auftreten. Häufig wird das logische Wort "UND" verwendet, um die Schnittmenge zweier Mengen zu beschreiben.

Bezogen auf unser Beispiel 1 bedeutet die Schnittmenge der Ereignisse A und B: Die ausgewählte Person ist ein internationaler Student UND studiert an der Wirtschaftsfakultät. Dies wird wie folgt notiert:

$$A\cap B$$

Betrachten wir die Schnittmenge der Ereignisse A und B in einem Venn-Diagramm:

Im obigen Venn-Diagramm stellt der farbig markierte Bereich die Schnittmenge der Ereignisse A und B dar.

Nehmen wir nun an, Ereignis C steht für die Auswahl eines einheimischen (lokalen) Studenten. Wir stellen die Ereignisse A und C in einem neuen Venn-Diagramm dar:

Die Auswahl eines internationalen Studenten und eines einheimischen Studenten kann nicht gleichzeitig eintreten. Tritt das Ereignis ein, dass die ausgewählte Person ein internationaler Student ist, schließt dies automatisch aus, dass es sich um einen einheimischen Studenten handelt. Die Ereignisse A und C schließen sich also gegenseitig aus (sie sind disjunkt).

Sich gegenseitig ausschließende Ereignisse haben keine gemeinsamen Elemente. Daher ist die Schnittmenge von zwei sich ausschließenden Ereignissen leer:

$$A\cap C=φ$$

Die Wahrscheinlichkeit, dass Ereignisse gemeinsam eintreten, kann auf verschiedene Weise berechnet werden. Für die Ereignisse A und B gelten die folgenden Formeln:

$$P\left(A\cap B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(A\cup B\right)$$

$$P\left(A\cap B\right)=P(A)× P(B/A)$$

$$P\left(A\cap B\right)=P(B)× P(A/B)$$

Unabhängige Ereignisse (Stochastische Unabhängigkeit)

Unabhängige Ereignisse sind Ereignisse, die sich gegenseitig in keiner Weise beeinflussen. In unserem Szenario hat die Tatsache, ob ein Student an der Wirtschaftsfakultät studiert, keinen Einfluss darauf, ob er ein internationaler Student ist oder nicht. Ereignis A und Ereignis B sind somit zwei stochastisch unabhängige Ereignisse.

Wenn Ereignisse unabhängig sind, hängt die Wahrscheinlichkeit, dass eines von ihnen eintritt, nicht von der Wahrscheinlichkeit des anderen ab. Daher gilt:

$$P(B/A)=P(B)\ und\ P(A/B)=P(A)$$

Mit diesen Beziehungen lassen sich die zuvor gelernten Formeln zur Bestimmung der Schnittmenge anpassen:

$$P\left(A\cap B\right)=P\left(A\right)× P\left(\mathrm{B/A}\right)=P(A)× P(B)$$

$$P\left(A\cap B\right)=P\left(B\right)× P\left(\mathrm{A/B}\right)=P(B)× P(A)$$

Die Wahrscheinlichkeit der Schnittmenge zweier unabhängiger Ereignisse ergibt sich demnach einfach aus der Multiplikation ihrer Einzelwahrscheinlichkeiten:

$$P\left(A\cap B\right)=P\left(A\right)× P\left(B\right)=P(B)× P(A)$$

Unter der Annahme, dass die Ereignisse A und B unabhängig sind, berechnen wir nun die Wahrscheinlichkeit, dass der erste ausgewählte Student sowohl an der Wirtschaftsfakultät studiert als auch ein internationaler Student ist:

$$P\left(A\cap B\right)=P\left(A\right)× P\left(B\right)=0,6× 0,3=0,18$$

Vereinigungsmenge von Ereignissen

Die Vereinigungsmenge zweier Ereignisse führt zu einem neuen Ereignis, das alle Elemente enthält, die in mindestens einem der beiden Ereignisse (oder in beiden) vorkommen. Das logische Wort "ODER" wird typischerweise verwendet, um die Vereinigung zweier Ereignisse zu beschreiben.

In Beispiel 1 bedeutet die Vereinigung der Ereignisse A und B: Die ausgewählte Person ist ein internationaler Student ODER studiert an der Wirtschaftsfakultät (oder beides). Dies lässt sich wie folgt ausdrücken:

$$A\cup B$$

Wir wollen die Vereinigung der Ereignisse A und B in einem Venn-Diagramm darstellen:

Die farbige Fläche im obigen Venn-Diagramm repräsentiert die Vereinigung der Ereignisse A und B.

Um die Wahrscheinlichkeit für Ereignis A oder Ereignis B zu berechnen, müssen wir die Wahrscheinlichkeiten beider Ereignisse addieren und anschließend die Wahrscheinlichkeit der Schnittmenge subtrahieren (um eine Doppelzählung zu vermeiden).

Die Formel für die Wahrscheinlichkeit einer Vereinigung der Ereignisse A und B lautet:

$$P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(A\cap B\right)$$

Wir können diese Formel anpassen, um die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung zweier unabhängiger Ereignisse zu ermitteln, falls die Wahrscheinlichkeit der Schnittmenge unbekannt ist.

Da bei unabhängigen Ereignissen Folgendes gilt:

$$P\left(A\cap B\right)=P(A)× P(B)$$

Ergibt sich für die Vereinigung:

$$P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P(A)× P(B)$$

Berechnen wir nun die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, eine Person zu wählen, die BWL studiert, international ist oder beides gleichzeitig erfüllt?

$$P(A\cap B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)=0,6+0,3-0,18=0,72$$

Mit unserem Rechner für die Wahrscheinlichkeit zweier Ereignisse können Sie diese komplexen Rechnungen in Sekundenschnelle durchführen. Er eignet sich auch hervorragend zur Überprüfung Ihrer eigenen Hausaufgaben und Berechnungen, da das Tool die kompletten Lösungswege und Zwischenschritte transparent anzeigt.

Die Normalverteilung

Die Normalverteilung (oft als Gauß-Verteilung bezeichnet) ist symmetrisch und zeichnet sich durch ihre typische Glockenform aus. Bei einer exakten Normalverteilung sind Erwartungswert (Mittelwert), Median und Modus identisch. Genau 50 % der Datenpunkte liegen oberhalb des Mittelwerts und 50 % unterhalb des Mittelwerts. Die Enden der Dichtekurve entfernen sich in beide Richtungen vom Mittelwert und nähern sich der X-Achse asymptotisch an, berühren diese aber nie. Die Gesamtfläche unter der Kurve beträgt exakt 1.

Wenn eine Zufallsvariable X normalverteilt ist mit den Parametern μ und σ², schreibt man: X ~ N(μ, σ²).

Wahrscheinlichkeiten der Normalverteilung berechnen

Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der Normalverteilung lautet wie folgt:

$$f\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{2π\sigma^2}}× e^\frac{-{(x-\mu)}^2}{2\sigma^2}$$

In dieser Funktion stehen die Variablen für:

• μ ist der Mittelwert (Erwartungswert) der Verteilung;
• σ² ist die Varianz der Verteilung;
• π ist die Kreiszahl (ca. 3,14159);
• e ist die Eulersche Zahl (ca. 2,7182).

Da es unendlich viele Kombinationen von Mittelwerten und Standardabweichungen gibt, ist es unmöglich, für jede einzelne Normalkurve eine eigene Wahrscheinlichkeitstabelle zu erstellen. Aus diesem Grund wird die Standardnormalverteilung verwendet. Eine Normalverteilung mit einem Mittelwert von 0 und einer Standardabweichung von 1 wird als Standardnormalverteilung bezeichnet.

Um Wahrscheinlichkeiten einer beliebigen Normalverteilung zu berechnen, müssen wir den konkreten Wert zunächst mithilfe des z-Wertes (z-Score) in eine Standardnormalverteilung umwandeln. Danach kann die z-Tabelle genutzt werden, um die Wahrscheinlichkeit abzulesen. Unser Normalverteilungs-Rechner automatisiert diesen Vorgang vollständig und liefert Ihnen Wahrscheinlichkeiten für verschiedene Konfidenzniveaus auf Knopfdruck.

$$Z=\frac{X-\mu}{\sigma}$$

Die Standardnormalverteilungskurve ist ein mächtiges Werkzeug zur Lösung vieler realer Problemstellungen. Insbesondere bei der Untersuchung kontinuierlicher (stetiger) Variablen kommt sie zum Einsatz. Eine kontinuierliche Variable kann jeden beliebigen Wert (auch Dezimalzahlen) innerhalb eines Intervalls annehmen. Typische Beispiele aus der Praxis sind Körpergröße, Gewicht oder Temperatur.

Im folgenden Beispiel zeigen wir Ihnen, wie Sie die Wahrscheinlichkeit einer Normalverteilung in der Praxis ermitteln.

Beispiel

Die Testergebnisse des Statistikkurses Ihrer Lerngruppe sind normalverteilt mit einem Mittelwert von 65 und einer Standardabweichung von 10. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit für folgende Szenarien, wenn eine Klausur zufällig ausgewählt wird:

• Der Studierende hat eine Punktzahl von 70 oder mehr erreicht.
• Der Studierende hat weniger als 70 Punkte erreicht.
• Die Punktzahl des Studierenden liegt zwischen 50 und 70.

Lösung

$$P\left(X≥70\right)=P\left(Z≥\frac{70-65}{10}\right)=P\left(Z≥0,5\right)=1-0,6915=0,3085$$

$$P\left(X<70\right)=P\left(Z<\frac{70-65}{10}\right)=P\left(Z<0,5\right)=0,6915$$

$$P\left(50<X<70\right)=P\left(\frac{50-65}{10}<Z<\frac{70-65}{10}\right)=P\left(-1,5<Z<0,5\right)=0,4332+0,1915=0,6247$$

Die manuelle Berechnung von Wahrscheinlichkeiten unter der Normalkurve erfordert mehrere Rechenschritte und den geübten Umgang mit z-Tabellen. Unser Rechner für die Wahrscheinlichkeit der Normalverteilung hingegen nimmt Ihnen diese Arbeit ab. Um den Rechner zu nutzen, müssen Sie lediglich vier Werte eingeben: den Mittelwert, die Standardabweichung sowie die linke und rechte Grenze. Den Rest der Berechnung erledigt das Tool für Sie.