Calculadora de Quartil

A nossa calculadora de quartil é a ferramenta estatística ideal para encontrar o resumo dos cinco números, essencial para a construção de um box plot (diagrama de caixa). Esta calculadora estatística determina rapidamente o primeiro quartil (Q1), o segundo quartil ou mediana (Q2), o terceiro quartil (Q3), além dos valores mínimo e máximo de qualquer conjunto de dados. Como bônus, ela também calcula o intervalo interquartil (IQR) e a amplitude total.

Para utilizá-la, você só precisa digitar ou colar os seus dados e clicar no botão "calcular". Certifique-se de separar cada número utilizando uma vírgula ou um espaço.

Quartis

Os quartis são importantes medidas de posição na estatística. Eles ajudam a descrever a localização de um valor específico em relação aos demais elementos de uma amostra ou população.

Na prática, os quartis são usados para dividir um conjunto de dados ordenado (organizado em ordem crescente) em quatro partes iguais. Cada uma dessas seções contém exatamente a mesma quantidade de observações. Para qualquer conjunto de dados, podemos calcular três quartis:

• Primeiro quartil (Q1 ou quartil inferior)
• Segundo quartil (Q2 ou mediana)
• Terceiro quartil (Q3 ou quartil superior)

O primeiro quartil (Q1) é o valor que separa os 25% inferiores dos 75% superiores dos dados organizados em ordem crescente. Portanto, o primeiro quartil tem 25% das observações abaixo dele e 75% acima. Esse valor é exatamente igual ao 25º percentil do conjunto de dados.

O segundo quartil (Q2) é o valor que divide os dados exatamente ao meio, separando os 50% inferiores dos 50% superiores. Assim, o segundo quartil tem 50% dos itens abaixo dele e 50% acima. O segundo quartil é exatamente igual à mediana, correspondendo ao 50º percentil numérico.

O terceiro quartil (Q3) é o valor que separa os 75% inferiores dos 25% superiores dos dados em ordem crescente. Logo, o terceiro quartil tem 75% das observações abaixo dele e 25% acima. Isto equivale ao 75º percentil da amostra.

Cálculo de Quartis

Você pode seguir os passos abaixo para encontrar e calcular os quartis manualmente:

• Organize os dados em ordem crescente.
• Encontre a mediana dos valores de todo o conjunto. Este será o segundo quartil (Q2).
• Encontre a mediana dos valores que estão localizados abaixo do segundo quartil. Este será o primeiro quartil (Q1).
• Encontre a mediana dos valores que estão posicionados acima do segundo quartil. Este será o terceiro quartil (Q3).

Exemplo 1

O conjunto de dados a seguir representa o salário inicial de contadores recém-formados em uma faculdade. Encontre a mediana (Q2), o quartil inferior (Q1) e o quartil superior (Q3) para esses salários e interprete os resultados.

$55.000, $60.000, $52.000, $45.000, $74.000, $75.000, $48.000, $58.000, $72.000, $66.000, $45.000, $50.000, $54.000, $65.000, $71.000

Solução

Primeiro, vamos organizar os dados estatísticos em ordem crescente:

$45.000, $45.000, $48.000, $50.000, $52.000, $54.000, $55.000, $58.000, $60.000, $65.000, $66.000, $71.000, $72.000, $74.000, $75.000

Em seguida, determinamos a posição do segundo quartil (a mediana).

$$Segundo\ quartil(Q2)=\left(\frac{N+1}{2}\right)^{th}item=\left(\frac{15+1}{2}\right)^{th}item=8^{th}item=58.000$$

A seguir, encontramos a mediana dos valores abaixo do Q2 para definir o Q1.

$45.000, $45.000, $48.000, $50.000, $52.000, $54.000, $55.000

Primeiro quartil (Q1) = $50.000

Depois, encontramos a mediana dos valores acima do Q2 para determinar o Q3.

$60.000, $65.000, $66.000, $71.000, $72.000, $74.000, $75.000

Terceiro quartil (Q3) = $71.000

Podemos interpretar os quartis calculados da seguinte forma:

25% dos contadores recém-formados ganham menos de $50.000, enquanto 25% ganham mais de $71.000. Metade (50%) dos profissionais ganha mais de $58.000, enquanto a outra metade ganha menos do que esse valor.

Observe que, no exemplo acima, por se tratar de um número ímpar de observações, os quartis correspondem a valores exatos presentes na amostra original. No entanto, quando lidamos com um número par de dados, os quartis geralmente não correspondem a valores originais do conjunto. Vamos modificar o exemplo anterior para ilustrar esse cenário.

Exemplo 2

Suponha que um dado salarial tenha sido omitido no Exemplo 1. O salário que faltou é de $95.000. Encontre a mediana revisada (Q2), o quartil inferior (Q1) e o quartil superior (Q3) para a nova lista de salários iniciais.

Solução

Primeiro, organizamos o conjunto de dados em ordem crescente:

$45.000, $45.000, $48.000, $50.000, $52.000, $54.000, $55.000, $58.000, $60.000, $65.000, $66.000, $71.000, $72.000, $74.000, $75.000, $95.000

Em seguida, encontramos a posição dos quartis.

$$Segundo\ quartil(Q2)=\left(\frac{N+1}{2}\right)^{th}item=\left(\frac{16+1}{2}\right)^{th}item=8,5^{th}item$$

$$Segundo\ quartil(Q2)=\frac{8^{th}item+9^{th}item}{2}=\frac{58.000+60.000}{2}=59.000$$

Agora, dividimos o conjunto na mediana formando dois grupos. Encontramos a mediana dos valores abaixo do Q2 para definir o Q1.

$45.000, $45.000, $48.000, $50.000, $52.000, $54.000, $55.000, $58.000

Primeiro quartil (Q1) = ($50.000 + $52.000)/2 = $51.000

Depois, encontramos a mediana dos valores acima do Q2 para definir o Q3.

$60.000, $65.000, $66.000, $71.000, $72.000, $74.000, $75.000, $95.000

Terceiro quartil (Q3) = ($71.000 + $72.000)/2 = $71.500

Intervalo interquartil (Amplitude Interquartílica)

A diferença entre o quartil superior (Q3) e o quartil inferior (Q1) é conhecida como intervalo interquartil ou amplitude interquartílica (IQR, do inglês Interquartile Range).

• Intervalo interquartil (IQR) = Quartil superior - Quartil inferior
• Intervalo interquartil (IQR) = Terceiro quartil - Primeiro quartil
• Intervalo interquartil (IQR) = Q3 - Q1

O intervalo interquartil elimina os 25% menores e os 25% maiores valores da amostra. Em outras palavras, essa métrica concentra-se estritamente na dispersão dos 50% centrais dos dados. Como o cálculo ignora os extremos inferiores e superiores, o intervalo interquartil é altamente resistente a valores atípicos (outliers). Isso resolve a principal desvantagem de calcular apenas a amplitude total.

Exemplo 3

Encontre o intervalo interquartil para os dados do Exemplo 1.

Solução

Nós já calculamos os quartis para aquele conjunto de dados:

• Primeiro quartil (Q1) = $50.000
• Segundo quartil (Q2) = $58.000
• Terceiro quartil (Q3) = $71.000

Vamos aplicar esses valores à fórmula do IQR:

• Intervalo interquartil (IQR) = Terceiro quartil (Q3) - Primeiro quartil (Q1) = $71.000 - $50.000 = $21.000*

Exemplo 4

Encontre o intervalo interquartil para o Exemplo 2.

Solução

Já calculamos os quartis do novo conjunto:

• Primeiro quartil (Q1) = $51.000
• Segundo quartil (Q2) = $59.000
• Terceiro quartil (Q3) = $71.500

Aplicando os valores à fórmula:

Intervalo interquartil (IQR) = Terceiro quartil (Q3) - Primeiro quartil (Q1) = $71.500 - $51.000 = $20.500

Valores Mínimos e Máximos

O valor mínimo corresponde ao menor número do conjunto de dados. Quando você organiza uma lista em ordem crescente, este será o primeiro valor da sequência.

Da mesma forma, o valor máximo refere-se ao número mais alto da amostra. Quando os dados estão em ordem crescente, este é sempre o último número da sequência.

Juntos, os valores mínimo e máximo ajudam a compreender a dispersão total e os limites da sua amostra. A amplitude (também chamada de intervalo total), que é a medida de dispersão mais básica da estatística, é baseada exclusivamente nestes dois valores.

Exemplo 5

Encontre os valores mínimo e máximo no conjunto de salários do Exemplo 1.

Solução

Com os dados já organizados em ordem crescente:

$45.000, $45.000, $48.000, $50.000, $52.000, $54.000, $55.000, $58.000, $60.000, $65.000, $66.000, $71.000, $72.000, $74.000, $75.000

O salário mínimo é o primeiro valor numérico da lista. Portanto:

O salário mínimo inicial = $45.000

O salário máximo é o último valor numérico da lista. Sendo assim:

O salário máximo inicial = $75.000

Exemplo 6

Encontre os valores mínimo e máximo do conjunto de salários do Exemplo 2.

Solução

Com o conjunto atualizado em ordem crescente:

$45.000, $45.000, $48.000, $50.000, $52.000, $54.000, $55.000, $58.000, $60.000, $65.000, $66.000, $71.000, $72.000, $74.000, $75.000, $95.000

O menor valor da amostra é:

O salário mínimo inicial = $45.000

E o maior valor da amostra é:

O salário máximo inicial = $95.000

Intervalo (Amplitude) de um conjunto

O intervalo (conhecido estatisticamente como amplitude) é a medida de dispersão mais básica. Ela é calculada através da diferença entre o maior valor (máximo) e o menor valor (mínimo) do conjunto.

O intervalo de um conjunto = Valor máximo - Valor mínimo

O intervalo de um conjunto = Maior valor - Menor valor

Esta amplitude representa a distância total ou a extensão de variabilidade entre os pontos extremos dos dados. Sendo uma medida de dispersão mais simples, ela nos dá uma visão abrangente, mas superficial.

O intervalo depende única e exclusivamente de dois elementos: os extremos. Se esses extremos incluírem valores atípicos severos (outliers), a amplitude será facilmente distorcida e não refletirá a realidade do grupo. Como a métrica ignora a grande maioria dos dados, não costuma ser considerada a ferramenta mais robusta para medir a variabilidade estatística.

Exemplo 7

Encontre a amplitude (intervalo) dos salários iniciais apresentados no Exemplo 1.

Solução

Já sabemos o menor e o maior valor desse conjunto:

O salário mínimo inicial = $45.000

O salário máximo inicial = $75.000

Aplicando na fórmula, temos:

O intervalo de um conjunto = Valor máximo - Valor mínimo = $75.000 - $45.000 = $30.000

Exemplo 8

Encontre a amplitude (intervalo) dos salários iniciais do Exemplo 2.

Solução

Novamente, recuperamos os valores extremos:

O salário mínimo inicial = $45.000

O salário máximo inicial = $95.000

Aplicando na fórmula, o resultado é:

O intervalo de um conjunto = Valor máximo - Valor mínimo = $95.000 - $45.000 = $50.000

Aplicações de Cálculos de Quartis no Mundo Real

A calculadora de quartil é uma excelente aliada em situações onde precisamos mitigar o impacto de dados extremos e focar na distribuição principal. Diversos setores de mercado dependem dessas análises paramétricas para tomada de decisões:

Recursos Humanos - A estatística de quartis é frequentemente utilizada na estruturação de faixas salariais. O uso do IQR elimina fatores que causariam distorções corporativas, como o baixo custo de programas de estágio ou os altíssimos salários da diretoria executiva, entregando a média real paga aos colaboradores padrão.

Finanças - Durante o planejamento orçamentário mensal, o cálculo de quartis sobre as despesas passadas fornece um cenário muito mais assertivo de projeção de gastos. Esse panorama robusto é o que previne déficits financeiros ou retenção desnecessária de capital.

Produção e Operações - O monitoramento do desempenho central da cadeia de produção elimina ruídos estatísticos e dados que foram enviesados negativamente por fatores como queda de energia, falhas de suprimentos ou greves atípicas.

Marketing e Vendas - Ao fazer análise de inteligência competitiva e benchmarking, os profissionais de marketing usam os quartis para avaliar os preços do mercado. Isso lhes permite ignorar produtos subfaturados e de baixa qualidade (abaixo do Q1) ou itens de luxo hiper-faturados (acima do Q3), posicionando perfeitamente o seu produto no mercado alvo.