Quartil-Rechner

Unser Quartilsrechner ist das ideale Tool, um schnell und präzise die Fünf-Punkte-Zusammenfassung für Boxplots (Box-and-Whisker-Diagramme) zu ermitteln. Dieser Online-Statistikrechner berechnet das erste Quartil (Q1), das zweite Quartil (Q2) bzw. den Median, das dritte Quartil (Q3) sowie den Minimal- und Maximalwert Ihres Datensatzes. Darüber hinaus ermittelt er automatisch den Interquartilsabstand (IQR) und die Spannweite (Range).

Geben Sie einfach Ihre Daten ein oder fügen Sie diese per Copy-and-Paste ein und klicken Sie auf die Schaltfläche "Berechnen". Achten Sie darauf, dass Sie jede Zahl mit einem Komma oder einem Leerzeichen trennen.

Quartile

Quartile sind wichtige statistische Lageparameter. Sie helfen dabei, die Position eines bestimmten Wertes im Verhältnis zu den restlichen Werten eines Datensatzes zu beschreiben.

Quartile werden verwendet, um eine der Größe nach sortierte (aufsteigend angeordnete) Datenreihe in vier gleich große Abschnitte zu unterteilen. Jeder dieser Bereiche enthält exakt dieselbe Anzahl an Beobachtungswerten. Für jeden Datensatz lassen sich drei Quartile berechnen:

• Erstes Quartil (Q1 oder unteres Quartil)
• Zweites Quartil (Q2 oder Median)
• Drittes Quartil (Q3 oder oberes Quartil)

Das erste Quartil (Q1) ist der Datenwert, der die unteren 25 % von den oberen 75 % der aufsteigend sortierten Daten trennt. Im ersten Quartil liegen also 25 % der Werte unterhalb und 75 % der Werte oberhalb dieser Grenze. Das entspricht dem 25. Perzentil des Datensatzes.

Das zweite Quartil (Q2) ist der Datenwert, der die unteren 50 % von den oberen 50 % der sortierten Daten trennt. Am zweiten Quartil befinden sich also exakt 50 % der Werte unterhalb und 50 % oberhalb dieser Grenze. Das zweite Quartil ist identisch mit dem Median und dem 50. Perzentil des Datensatzes.

Das dritte Quartil (Q3) ist der Datenwert, der die unteren 75 % von den oberen 25 % der aufsteigend angeordneten Daten trennt. Im dritten Quartil liegen somit 75 % der Werte unterhalb und 25 % oberhalb dieses Wertes. Dies entspricht dem 75. Perzentil des Datensatzes.

Berechnung der Quartile

Sie können die folgenden Schritte befolgen, um die Quartile manuell zu ermitteln:

• Ordnen Sie die Daten in aufsteigender Reihenfolge (vom kleinsten zum größten Wert).
• Ermitteln Sie den Median aller Datenwerte. Dies ist das zweite Quartil (Q2).
• Ermitteln Sie den Median der unteren Datenhälfte (die Werte, die unterhalb des zweiten Quartils liegen). Dies ist das erste Quartil (Q1).
• Ermitteln Sie den Median der oberen Datenhälfte (die Werte, die oberhalb des zweiten Quartils liegen). Dies ist das dritte Quartil (Q3).

Beispiel 1

Der folgende Datensatz zeigt die Einstiegsgehälter von frisch absolvierten Buchhaltern an einer Hochschule. Ermitteln Sie den Median (Q2), das untere Quartil (Q1) und das obere Quartil (Q3) für diese Anfangsgehälter. Interpretieren Sie anschließend Ihre Ergebnisse.

55.000 $, 60.000 $, 52.000 $, 45.000 $, 74.000 $, 75.000 $, 48.000 $, 58.000 $, 72.000 $, 66.000 $, 45.000 $, 50.000 $, 54.000 $, 65.000 $, 71.000 $

Lösung

Zunächst ordnen wir die Daten in aufsteigender Reihenfolge:

45.000 $, 45.000 $, 48.000 $, 50.000 $, 52.000 $, 54.000 $, 55.000 $, 58.000 $, 60.000 $, 65.000 $, 66.000 $, 71.000 $, 72.000 $, 74.000 $, 75.000 $

Anschließend wird die Position des zweiten Quartils (des Medians) ermittelt.

$$Zweites\ Quartil(Q2)=\left(\frac{N+1}{2}\right)^{ter}\ Wert=\left(\frac{15+1}{2}\right)^{ter}\ Wert=8^{ter}\ Wert=58.000$$

Ermitteln Sie nun den Median der Datenwerte, die unterhalb von Q2 liegen, um Q1 zu bestimmen:

45.000 $, 45.000 $, 48.000 $, 50.000 $, 52.000 $, 54.000 $, 55.000 $

Erstes Quartil (Q1) = 50.000 $

Ermitteln Sie abschließend den Median der Datenwerte oberhalb von Q2, um Q3 zu bestimmen:

60.000 $, 65.000 $, 66.000 $, 71.000 $, 72.000 $, 74.000 $, 75.000 $

Drittes Quartil (Q3) = 71.000 $

Sie können die berechneten Quartile wie folgt interpretieren:

25 % der Berufseinsteiger in der Buchhaltung verdienen weniger als 50.000 $, und 25 % verdienen mehr als 71.000 $. 50 % der Absolventen verdienen mehr als 58.000 $, während die anderen 50 % weniger als diesen Betrag verdienen.

Aus dem obigen Beispiel wird ersichtlich, dass bei einer ungeraden Anzahl von Datenwerten die Quartile exakt den ursprünglichen Datenwerten entsprechen. Bei einer geraden Anzahl von Werten ist dies jedoch oft nicht der Fall. Ändern wir das obige Beispiel ab, um dies zu veranschaulichen.

Beispiel 2

Nehmen wir an, wir haben vergessen, ein Gehalt aus Beispiel 1 zu erfassen. Das fehlende Gehalt beträgt 95.000 $. Ermitteln Sie den neuen Median (Q2), das untere Quartil (Q1) und das obere Quartil (Q3) für die Einstiegsgehälter.

Lösung

Zunächst ordnen wir die Datenreihe wieder in aufsteigender Reihenfolge:

45.000 $, 45.000 $, 48.000 $, 50.000 $, 52.000 $, 54.000 $, 55.000 $, 58.000 $, 60.000 $, 65.000 $, 66.000 $, 71.000 $, 72.000 $, 74.000 $, 75.000 $, 95.000 $

Dann bestimmen wir die Position der Quartile.

$$Zweites\ Quartil(Q2)=\left(\frac{N+1}{2}\right)^{ter}\ Wert=\left(\frac{16+1}{2}\right)^{ter}\ Wert=8,5^{ter}\ Wert$$

$$Zweites\ Quartil(Q2)=\frac{8^{ter}\ Wert+9^{ter}\ Wert}{2}=\frac{58.000+60.000}{2}=59.000$$

Unterteilen Sie nun den Datensatz am Median in zwei Gruppen. Ermitteln Sie den Median der unteren Datenhälfte (unterhalb von Q2), um Q1 zu finden:

45.000 $, 45.000 $, 48.000 $, 50.000 $, 52.000 $, 54.000 $, 55.000 $, 58.000 $

Erstes Quartil (Q1) = (50.000 $ + 52.000 $) / 2 = 51.000 $

Ermitteln Sie anschließend den Median der oberen Datenhälfte (oberhalb von Q2), um Q3 zu bestimmen:

60.000 $, 65.000 $, 66.000 $, 71.000 $, 72.000 $, 74.000 $, 75.000 $, 95.000 $

Drittes Quartil (Q3) = (71.000 $ + 72.000 $) / 2 = 71.500 $

Interquartilsabstand (Interquartilsbereich)

Die Differenz zwischen dem oberen Quartil (Q3) und dem unteren Quartil (Q1) wird in der Statistik als Interquartilsabstand (IQR - Interquartile Range) bezeichnet.

• Interquartilsabstand (IQR) = oberes Quartil - unteres Quartil
• Interquartilsabstand (IQR) = drittes Quartil - erstes Quartil
• Interquartilsabstand (IQR) = Q3 - Q1

Der Interquartilsabstand ignoriert die untersten 25 % und die obersten 25 % der Werte in einer Datenreihe. Mit anderen Worten: Er konzentriert sich ausschließlich auf die Streuung der mittleren 50 % des Datensatzes. Da die extremen Randwerte eliminiert werden, ist der Interquartilsabstand unempfindlich gegenüber Extremwerten oder Ausreißern (robustes Streuungsmaß). Damit wird der größte Schwachpunkt der reinen Spannweitenberechnung behoben.

Beispiel 3

Berechnen Sie den Interquartilsabstand für das Beispiel 1.

Lösung

Wir haben die Quartile für diesen Datensatz bereits ermittelt:

• Erstes Quartil (Q1) = 50.000 $
• Zweites Quartil (Q2) = 58.000 $
• Drittes Quartil (Q3) = 71.000 $

Wenden wir diese Werte auf die Formel für den Interquartilsabstand an:

Interquartilsabstand (IQR) = Drittes Quartil (Q3) - Erstes Quartil (Q1) = 71.000 $ - 50.000 $ = 21.000 $

Beispiel 4

Berechnen Sie den Interquartilsabstand für das Beispiel 2.

Lösung

Wir haben die Quartile für diesen Datensatz bereits ermittelt:

• Erstes Quartil (Q1) = 51.000 $
• Zweites Quartil (Q2) = 59.000 $
• Drittes Quartil (Q3) = 71.500 $

Wenden wir diese Werte auf die Formel an:

Interquartilsabstand (IQR) = Drittes Quartil (Q3) - Erstes Quartil (Q1) = 71.500 $ - 51.000 $ = 20.500 $

Minimal- und Maximalwerte

Der Minimalwert (Minimum) eines Datensatzes ist der kleinste vorkommende Wert. Wenn Sie einen Datensatz in aufsteigender Reihenfolge sortieren, ist dies exakt der erste Wert Ihrer Liste.

Der Maximalwert (Maximum) eines Datensatzes ist der höchste vorkommende Wert. Sortieren Sie den Datensatz aufsteigend, entspricht dies dem allerletzten Wert der Liste.

Das Minimum und das Maximum helfen dabei, die Gesamtstreuung eines Datensatzes auf einen Blick zu erfassen. Die Spannweite (Range), das grundlegendste Streuungsmaß, basiert ausschließlich auf diesen beiden Werten.

Beispiel 5

Ermitteln Sie den Minimal- und Maximalwert aus dem Gehaltsdatensatz von Beispiel 1.

Lösung

Wir haben den Datensatz bereits wie folgt sortiert:

45.000 $, 45.000 $, 48.000 $, 50.000 $, 52.000 $, 54.000 $, 55.000 $, 58.000 $, 60.000 $, 65.000 $, 66.000 $, 71.000 $, 72.000 $, 74.000 $, 75.000 $

Das Minimum ist der erste Wert in dieser sortierten Datenreihe. Daher gilt:

Das minimale Einstiegsgehalt der Buchhalter beträgt 45.000 $.

Das Maximum ist der letzte Wert in der sortierten Datenreihe. Daher gilt:

Das maximale Einstiegsgehalt der Buchhalter beträgt 75.000 $.

Beispiel 6

Ermitteln Sie den Minimal- und Maximalwert aus dem Gehaltsdatensatz von Beispiel 2.

Lösung

Wir haben den Datensatz bereits wie folgt sortiert:

45.000 $, 45.000 $, 48.000 $, 50.000 $, 52.000 $, 54.000 $, 55.000 $, 58.000 $, 60.000 $, 65.000 $, 66.000 $, 71.000 $, 72.000 $, 74.000 $, 75.000 $, 95.000 $

Das Minimum ist der erste Wert in der sortierten Datenreihe. Daher gilt:

Das minimale Einstiegsgehalt der Buchhalter beträgt 45.000 $.

Das Maximum ist der letzte Wert in der sortierten Datenreihe. Daher gilt:

Das maximale Einstiegsgehalt der Buchhalter beträgt 95.000 $.

Spannweite (Bereich eines Datensatzes)

Die Spannweite (auch Range genannt) ist in der Statistik das simpelste Maß für die Streubreite eines Datensatzes. Sie wird berechnet als die Differenz zwischen dem größten (Maximalwert) und dem kleinsten (Minimalwert) Wert.

Spannweite = Maximalwert - Minimalwert

Spannweite = Größter Wert - Kleinster Wert

Die Spannweite zeigt den Gesamtabstand bzw. die absolute Breite zwischen den beiden Extremwerten der Daten auf. Es handelt sich um ein sehr grobes Streuungsmaß.

Da die Spannweite ausschließlich von den beiden extremsten Werten abhängt, ist sie extrem anfällig für Ausreißer. Enthält ein Datensatz untypische Extremwerte, wird die Spannweite stark verzerrt. Da sie die restlichen Werte des Datensatzes komplett ignoriert, gilt sie allein betrachtet oft nicht als ideales Maß für die Streuung.

Beispiel 7

Ermitteln Sie die Spannweite der Einstiegsgehälter aus Beispiel 1.

Lösung

Zuvor haben wir bereits den Minimalwert und den Maximalwert des Datensatzes bestimmt:

Das Minimum beträgt 45.000 $.

Das Maximum beträgt 75.000 $.

Nun setzen wir diese Werte in die Formel für die Spannweite ein:

Spannweite = Maximalwert - Minimalwert = 75.000 $ - 45.000 $ = 30.000 $

Beispiel 8

Ermitteln Sie die Spannweite der Einstiegsgehälter aus Beispiel 2.

Lösung

Zuvor haben wir auch hier den Minimal- und Maximalwert bestimmt:

Das Minimum beträgt 45.000 $

Das Maximum beträgt 95.000 $

Nun setzen wir diese Werte in die Formel ein:

Spannweite = Maximalwert - Minimalwert = 95.000 $ - 45.000 $ = 50.000 $

Praktische Anwendungsbereiche der Quartilsberechnung

Die Quartilsberechnung ist besonders dann nützlich, wenn man Extremwerte in einem Datensatz ignorieren und sich auf die tatsächliche Kernverteilung konzentrieren möchte. In der Praxis gibt es zahlreiche Bereiche, in denen Quartile als Grundlage für fundierte Entscheidungen dienen:

Personalwesen (Human Resources) – Quartile von branchenüblichen Gehältern werden häufig analysiert, bevor die Gehaltsstrukturen in einem Unternehmen festgelegt werden. So können Verzerrungen durch extrem niedrige Gehälter (z. B. Praktikanten) oder extrem hohe Ausreißer (z. B. hochbezahlte Spezialisten) herausgefiltert werden, um ein faires Gehaltsband zu definieren.

Finanzen – Bei der Planung von Budgets oder monatlichen Ausgaben werden Quartile berechnet, um das typische Ausgabeverhalten der Vergangenheit ohne extreme Ausreißer zu analysieren. So lassen sich realistischere Prognosen erstellen und Budgetüberschreitungen leichter vermeiden.

Produktion – Die Quartilsberechnung hilft dabei, verlässliche Daten über die Bandbreite der Produktionskapazitäten zu gewinnen. Verfälschungen durch außergewöhnliche Ereignisse wie Stromausfälle, Streiks oder Lieferengpässe von Materialien werden durch die Betrachtung des Interquartilsabstands elegant ausgeblendet.

Marketing – Wenn Marketingexperten die Preisgestaltung der Konkurrenz analysieren, berechnen sie oft die Quartile der Marktpreise. Dadurch können ungewöhnlich billige Ramschprodukte oder extrem teure Luxus-Ausreißer von der Analyse ausgeschlossen werden, um den optimalen Marktpreis für das eigene Produkt zu finden.