Rekenmachine voor Gemiddelden

Met deze handige online rekenmachine bereken je eenvoudig en snel het gemiddelde van elke dataset. Je kunt je gegevens direct typen of kopiëren en plakken in het invoerveld. Zorg ervoor dat je elk getal scheidt met een komma en klik vervolgens op de knop "Berekenen".

Onze tool toont direct het gemiddelde (het rekenkundig gemiddelde), de gedetailleerde berekeningsstappen en andere relevante statistieken van jouw ingevoerde gegevens.

Het Gemiddelde

Het gemiddelde is de som van alle waarden in een dataset, gedeeld door het totale aantal waarden. Omdat alle meetwaarden worden meegenomen in de berekening, geeft het een uitstekend beeld van de volledige dataset. In de statistiek is het gemiddelde een van de belangrijkste maten van centrale tendens (centrummaten).

Het eenvoudige rekenkundige gemiddelde is de meest gebruikte vorm. Er bestaan echter nog diverse andere soorten, zoals het geometrisch gemiddelde, het gewogen gemiddelde, het gecombineerd rekenkundig gemiddelde en het harmonisch gemiddelde.

Het gemiddelde van een volledige populatie wordt aangeduid met het symbool μ (Mu), terwijl het gemiddelde van een steekproef wordt weergegeven als X̄ (X-streep).

Eenvoudig Gemiddelde

Het eenvoudige gemiddelde (vaak kortweg 'het gemiddelde' of 'het rekenkundig gemiddelde' genoemd) bereken je door de som van alle waarden te delen door het totale aantal items in de dataset.

Om het gemiddelde van een populatie te berekenen, gebruiken we de onderstaande formule:

μ = Som van alle waarden in de dataset / Totaal aantal waarden in de populatie = ΣX / N

Om het gemiddelde van een steekproef te berekenen, gebruiken we de volgende formule:

X̄ = Som van alle waarden in de dataset / Totaal aantal waarden in de steekproef = ΣX/n

Laten we bekijken hoe je het gemiddelde berekent aan de hand van het onderstaande voorbeeld.

Voorbeeld

De onderstaande tabel toont de scores van Jasmine voor zeven vakken in het afgelopen semester. Wat is Jasmine's gemiddelde cijfer voor dit semester?

Vak	Score
Management	84
Communicatie	90
Boekhouding	75
Economie	60
Bedrijfsstatistiek	85
Internationale studies	92
Wiskunde	81

Oplossing

De gemiddelde score = ΣX / N = (84 + 90 + 75 + 60 + 85 + 92 + 81) / 7 = 567 / 7 = 81

Iedereen is wel bekend met het concept van een gemiddelde. Termen als gemiddeld inkomen, gemiddelde productiekosten, gemiddelde prijs, een gemiddeld rapportcijfer of gemiddeld brandstofverbruik horen we dagelijks. Ook in het dagelijks leven is het eenvoudige gemiddelde een standaardberekening, en het staat vaak bekend als de meest ideale centrummaat.

In sommige specifieke situaties zijn andere centrummaten echter beter geschikt. Laten we die eens nader bekijken.

Geometrisch Gemiddelde

Het rekenkundig gemiddelde is niet altijd de beste maatstaf, bijvoorbeeld bij het bepalen van het gemiddelde groeipercentage over een bepaalde periode. Het geometrisch gemiddelde, dat veel wordt gebruikt in de boekhouding en financiële wereld (zoals bij samengestelde rente), is in dat geval een veel nauwkeurigere indicator. Dit komt doordat groei exponentieel (vermenigvuldigend) werkt, en niet additief (optellend).

Het geometrisch gemiddelde van een dataset wordt gedefinieerd als de n-de machtswortel van het product van n waarden. Je berekent het door alle waarden met elkaar te vermenigvuldigen en vervolgens de n-de machtswortel van de uitkomst te trekken, waarbij n staat voor het totale aantal items in de dataset. Dit type gemiddelde is ideaal voor het evalueren van ratio's, percentages en groeipercentages.

$$Geometrisch\ Gemiddelde = \sqrt[n]{x₁×x₂×x₃×…×xₙ} = (x₁×x₂×x₃×…×xₙ)^{\frac{1}{n}}$$

We gaan nu het Geometrisch Gemiddelde berekenen op basis van ons eerdere voorbeeld.

$$Geometrisch\ Gemiddelde = \sqrt[7]{84×90×75×60×85×92×81} = 80,31$$

Het geometrisch gemiddelde is altijd gelijk aan of kleiner dan het eenvoudige (rekenkundige) gemiddelde.

In ons voorbeeld zien we dat terug:

Geometrisch Gemiddelde ≤ Het gemiddelde

80,31 < 81

Met onze online calculator bereken je niet alleen eenvoudig het rekenkundig gemiddelde, maar kun je ook met één druk op de knop het geometrisch gemiddelde van jouw dataset bepalen.

Gewogen Gemiddelde

Bij het eenvoudige rekenkundige gemiddelde telt elke waarde even zwaar mee. In de praktijk komt het echter vaak voor dat we niet aan elke waarde in de dataset hetzelfde belang kunnen of willen hechten.

In ons eerdere voorbeeld hebben we het gemiddelde berekend door alle scores op te tellen en te delen door het aantal vakken. We hebben daarbij geen rekening gehouden met de weging (bijvoorbeeld het aantal studiepunten) van de afzonderlijke vakken.

Het gewogen gemiddelde gebruik je wanneer de relatieve weging van elk item in de berekening moet worden meegenomen. Je berekent het gewogen gemiddelde door de som van de gewogen waarden te delen door de totale som van de gewichten. Een 'gewogen waarde' is de oorspronkelijke gegevenswaarde vermenigvuldigd met het bijbehorende gewicht.

We gebruiken de onderstaande formule om het gewogen gemiddelde te berekenen:

Het gewogen gemiddelde = De som van de gewogen waarden / De som van de gewichten = ΣWX / ΣW

Voorbeeld

Stel dat elk vak uit het vorige voorbeeld een andere weging heeft. De bijgewerkte tabel voor Jasmine's scores met bijbehorende gewichten ziet er dan als volgt uit:

Gewogen gemiddelde van Jasmine's scores van het vorige semester

Vak	Score	Gewicht
Management	84	3
Communicatie	90	2
Boekhouding	75	4
Economie	60	3
Bedrijfsstatistiek	85	3
Internationale studies	92	2
Wiskunde	81	3

Oplossing

De gewogen gemiddelde score = ΣWX / ΣW = (84×3+90×2+75×4+60×3+85×3+92×2+81×3)/(3+2+4+3+3+2+3) = (252+180+300+180+255+184+243)/20 = 1594/20 = 79,7

De Mediaan

De mediaan is de exacte middelste waarde van een dataset wanneer de waarden van laag naar hoog (of van hoog naar laag) zijn gesorteerd. Met andere woorden: de mediaan is het breekpunt dat de gesorteerde gegevensreeks in twee gelijke helften verdeelt. Hierdoor ligt exact 50% van de waarden onder de mediaan en 50% van de waarden erboven.

De Berekeningsmethode van de Mediaan

Om de mediaan te vinden, moeten we eerst bepalen op welke positie deze zich bevindt. Hiervoor gebruiken we de volgende formule:

$$De\ positie\ van\ de\ mediaan = \left( \frac{n+1}{2} \right)^{de}\ item$$

De "n” staat hier voor het totale aantal items in de dataset.

Als het totale aantal items in de dataset oneven is, dan is de waarde op de middelste positie direct de mediaan. Is het totale aantal items echter een even getal? Dan is de mediaan het gemiddelde van de twee middelste getallen.

Verschillen Tussen het Eenvoudige Gemiddelde en de Mediaan

1. Het gemiddelde wordt berekend door alle waarden uit de dataset te gebruiken. Je telt alles op en deelt dit door het aantal items. De mediaan gebruikt daarentegen niet de waarden van de hele dataset, maar kijkt puur naar het middelste datapunt.
2. De mediaan kan relatief eenvoudig worden geschat aan de hand van een grafische weergave (zoals een boxplot). Het gemiddelde is via een grafiek echter veel lastiger nauwkeurig in te schatten.
3. Het gemiddelde vormt in de statistiek vaak de basis voor verdere, meer complexe berekeningen (zoals standaarddeviatie). De mediaan wordt voor statistische vervolgberekeningen veel minder vaak gebruikt.

Wanneer het Gemiddelde te Gebruiken

Het gemiddelde is de beste maatstaf van centrale tendens wanneer de dataset symmetrisch is verdeeld en geen extreme uitschieters (outliers) bevat, of wanneer deze uitschieters vooraf zorgvuldig uit de data zijn gefilterd.

Wanneer de Mediaan te Gebruiken

Zodra een dataset sterk wordt beïnvloed door uitschieters, of wanneer er sprake is van een asymmetrische (scheve) verdeling, is het gemiddelde geen betrouwbare weergave meer van de data. Uitschieters zijn datapunten die extreem laag of extreem hoog zijn vergeleken met de rest van de waarden. Omdat het rekenkundig gemiddelde alle waarden meeweegt, wordt de uitkomst enorm vertekend door deze extremen. In zulke gevallen is de mediaan een veel betere keuze.

Laten we ons oorspronkelijke voorbeeld iets aanpassen om de impact van een uitschieter duidelijk te maken.

Voorbeeld

Stel dat Jasmine voor het vak Internationale studies geen 92, maar een 15 heeft gehaald. Wat is nu Jasmine's nieuwe gemiddelde?

Vak	Score
Management	84
Communicatie	90
Boekhouding	75
Economie	60
Bedrijfsstatistiek	85
Internationale studies	15
Wiskunde	81

Oplossing

De gemiddelde score = ΣX / N = (84+90+75+60+85+15+81)/7 = 490/7 = 70

De nieuwe gemiddelde score is gezakt naar 70. Dat is een flinke daling van 11 punten ten opzichte van de eerdere 81. Dit laat perfect zien hoe één enkele uitschieter het totale gemiddelde flink omlaag kan trekken.

In dit soort situaties geeft de mediaan een veel beter en eerlijker beeld. Om dit te bewijzen, berekenen we de mediaan voor zowel het originele als het gewijzigde voorbeeld.

Voorbeeld

De onderstaande tabel toont nogmaals Jasmine's originele scores. Wat is de mediaan van deze cijfers?

Vak	Score
Management	84
Communicatie	90
Boekhouding	75
Economie	60
Bedrijfsstatistiek	85
Internationale studies	92
Wiskunde	81

Oplossing

De eerste stap is het sorteren van alle scores in een logische reeks. Je mag zelf kiezen of je dit in oplopende of aflopende volgorde doet. Wij kiezen voor oplopend:

60, 75, 81, 84, 85, 90, 92

$$De\ positie\ van\ de\ mediaan = \left( \frac{n+1}{2} \right)^{de}\ item = \left( \frac{7+1}{2} \right)^{de}\ item = 4^{de}\ item$$

Vervolgens kijken we wat het 4e item in onze gesorteerde reeks is. Dat is 84. De mediaan van deze originele dataset is dus 84. Laten we nu kijken wat er met de mediaan gebeurt bij de dataset met de uitschieter.

Voorbeeld

Weer nemen we aan dat Jasmine voor Internationale studies een 15 heeft gehaald. Wat is de nieuwe mediaan?

Vak	Score
Management	84
Communicatie	90
Boekhouding	75
Economie	60
Bedrijfsstatistiek	85
Internationale studies	15
Wiskunde	81

Oplossing

Weer sorteren we de cijfers eerst in een oplopende reeks:

15, 60, 75, 81, 84, 85, 90

$$De\ positie\ van\ de\ mediaan = \left( \frac{n+1}{2} \right)^{de}\ item = \left( \frac{7+1}{2} \right)^{de}\ item = 4^{de}\ item$$

We controleren opnieuw welk getal op de 4e positie staat. Dat is nu 81, en dit is dus de nieuwe mediaan van de dataset.

Zoals je ziet: hoewel het gemiddelde door de uitschieter instortte, bleef de mediaan relatief stabiel en daardoor representatiever voor de algemene prestaties in dit scenario.