Rekenmachine voor Gemiddelde, Mediaan, Modus

Maten van centrale tendens (Centrummaten)

Ruwe data, zoals tabellen en grafieken met statistische gegevens, kunnen lastig te interpreteren zijn. Om nuttige inzichten uit statistieken te halen, moeten we datasets vaak samenvatten en de belangrijkste kenmerken identificeren.

In de statistiek gebruiken we hiervoor verschillende maatstaven. Sommige beschrijven het middelpunt van de data: dit worden centrummaten (of maten van centrale tendens) genoemd. Andere laten zien hoe ver de gegevens uit elkaar liggen; dit noemen we spreidingsmaten. Tot slot zijn er positiematen, die aangeven welk deel van de data onder of boven een bepaalde waarde valt.

Het primaire doel van deze online calculator is het berekenen van centrummaten — het gemiddelde en de mediaan — die de typische of centrale waarde in een dataset vertegenwoordigen. Daarnaast helpt deze rekenmachine bij het bepalen van de spreiding in een dataset door het bereik, de kwartielen en de interkwartielafstand (IQR) te berekenen.

Calculator voor het Gemiddelde

Het gemiddelde (of rekenkundig gemiddelde) is de som van alle waarden gedeeld door het totale aantal waarden. Dit is de meest bekende en eenvoudigste centrummaat. Gebruik de volgende formule voor het berekenen van het gemiddelde van een steekproef:

$$\bar{x}=\frac{x₁+x₂+x₃+\ldots+x_n}{n}=\frac{\sum_{}^{}x}{n}$$

De formule voor het gemiddelde van een volledige populatie is:

$$\mu=\frac{x₁+x₂+x₃+\ldots+x_n}{N}=\frac{\sum_{}^{}x}{N}$$

Hierbij vertegenwoordigt de teller de som van alle waarden in de dataset, en de noemer het totale aantal waarden.

Het grote voordeel van het rekenkundig gemiddelde is dat elk individueel datapunt uit de dataset in de berekening wordt meegenomen.

De belangrijkste beperking is echter dat het gemiddelde erg gevoelig is voor extreme waarden (zowel ongewoon grote als ongewoon kleine getallen). Zulke waarden noemen we uitschieters, en ze kunnen het gemiddelde aanzienlijk vertekenen.

Houd er ook rekening mee dat het gemiddelde niet altijd een 'typische' waarde is voor uw data; het gemiddelde kan een getal zijn dat zelf niet eens in de dataset voorkomt.

Gemiddelde van een steekproef versus populatie

De populatie bestaat uit de volledige set van elementen waarover u informatie wilt verzamelen. Een steekproef is een kleinere, representatieve groep die uit deze populatie is getrokken.

De berekeningswijze voor het gemiddelde is voor zowel steekproeven als populaties exact gelijk; alleen de symboliek verschilt.

Als x₁, x₂,..., xₙ een steekproef vormt, spreken we van het steekproefgemiddelde, aangeduid met het symbool x̄ (x-streep). Het gemiddelde van de populatie wordt aangeduid met de Griekse letter 𝜇 (mu).

In de statistiek gebruiken we een kleine letter n voor de steekproefgrootte en een hoofdletter N voor de populatiegrootte.

Voorbeeld van het berekenen van het gemiddelde

Laten we naar een praktisch voorbeeld kijken: Luigi is een gepassioneerde chef-kok en pizzaliefhebber die een pizzeria wil openen op Bali. Om investeerders aan te trekken, schrijft hij een businessplan. Hij wil de gemiddelde prijs van een pizza bij verschillende restaurants op het eiland weten om zijn toekomstige omzet te kunnen inschatten.

Hij deed een klein marktonderzoek naar de prijs van een pizza Margherita op Bali en verzamelde een dataset met pizzaprijzen. Voor het rekengemak laten we de laatste drie nullen weg en rekenen we in duizendtallen. Dat wil zeggen: 60 in onze berekening staat voor 60.000 Indonesische roepia.

60, 60, 84, 45, 59, 70, 42, 59, 53, 70, 69, 70, 120, 160, 95, 50, 75, 55, 72, 70

Luigi heeft niet elke pizzeria op het eiland bezocht; hij koos er willekeurig 20 uit. We hebben hier dus te maken met een steekproef.

Laten we de gemiddelde waarde voor deze dataset berekenen met behulp van de formule:

$$\bar{x}=\frac{x₁+x₂+x₃+\ldots+x_n}{n}=\frac{\sum_{}^{}x}{n}$$

We komen uit op een steekproefgemiddelde van x̄ = 71,9.

Luigi's onderzoek laat zien dat 71.900 Indonesische roepia de gemiddelde prijs is voor een pizza Margherita op Bali. Hij kan dit bedrag nu als basis gebruiken voor zijn financiële prognoses.

Mediaan Calculator

De mediaan is een positiemaat die het exacte middelpunt van een gesorteerde dataset weergeeft.

Door de mediaan te berekenen, zoeken we naar het getal dat de data in twee gelijke helften verdeelt: 50% van de waarden is kleiner dan de mediaan, en 50% is groter. Als u de mediaan handmatig (zonder mediaan calculator) wilt bepalen, moet u de waarden daarom eerst in oplopende of aflopende volgorde sorteren.

De berekening van de mediaan verschilt afhankelijk van of het aantal waarden in de dataset even of oneven is.

Als het totale aantal elementen oneven is (n of N is oneven), gebruikt u deze formule:

$$Mediaan=(\frac{n+1}{2})\text{-de\ element}$$

Als het aantal elementen even is (n is een even getal), berekent u het gemiddelde van de twee middelste getallen met deze formule:

$$Mediaan=\frac{\left[(\frac{n}{2})\text{-de\ element}+(\frac{n}{2}+1)\text{-de\ element}\right]}{2}$$

Het grote voordeel van de mediaan ten opzichte van het gemiddelde is de robuustheid: de mediaan wordt nauwelijks tot niet beïnvloed door extreme uitschieters.

Voorbeeld van het berekenen van de mediaan

Gegeven onze eerdere set van twintig waarden:

60, 60, 84, 45, 59, 70, 42, 59, 53, 70, 69, 70, 120, 160, 95, 50, 75, 55, 72, 70

We berekenen de mediaan als volgt:

1. Sorteer de dataset in oplopende of aflopende volgorde. In oplopende volgorde ziet dat er zo uit:

42, 45, 50, 53, 55, 59, 59, 60, 60, 69, 70, 70, 70, 70, 72, 75, 84, 95, 120, 160

2. Bepaal het aantal waarden in de dataset. Hier is n = 20.

3. Als n oneven is, kiezen we de centrale waarde als mediaan. Omdat n hier even is (20 is een even getal), nemen we het rekenkundig gemiddelde van de twee middelste waarden. We tellen deze bij elkaar op en delen de som door 2.

De centrale waarden in onze steekproef (de 10e en 11e positie) zijn 69 en 70. We berekenen de mediaan op deze manier:

$$Mediaan = \frac{69 + 70}{2} = 69,5$$

Stel dat Luigi een dataset van 21 waarden had verzameld, bijvoorbeeld met een extra waarde van 90:

60, 60, 84, 45, 59, 70, 42, 59, 53, 70, 69, 70, 120, 160, 95, 50, 75, 90, 55, 72, 70

Dan sorteert hij de waarden weer:

42, 45, 50, 53, 55, 59, 59, 60, 60, 69, 70, 70, 70, 70, 72, 75, 84, 90, 95, 120, 160

Omdat 21 oneven is, kiest hij simpelweg de waarde exact in het midden op de 11e positie. De mediaan is in dat geval 70.

Het verschil tussen het gemiddelde en de mediaan

Zowel het gemiddelde als de mediaan zijn belangrijke centrummaten, maar het is essentieel om te begrijpen waarin ze verschillen.

Een cruciaal verschil is dat de formule voor het gemiddelde alle waarden in de dataset gebruikt. De mediaan daarentegen is uitsluitend afhankelijk van het centrale getal (of de twee centrale getallen).

Dit is vooral belangrijk bij datasets met uitschieters (getallen die ongewoon groot of ongewoon klein zijn). In de meeste gevallen trekken uitschieters het gemiddelde sterk naar zich toe, maar hebben ze weinig tot geen effect op de mediaan.

In de statistiek noemen we een maatstaf 'resistent' of 'robuust' als de uitkomst niet sterk beïnvloed wordt door extreme waarden. De mediaan is dus resistent, terwijl het gemiddelde dat niet is.

Beide meten het middelpunt van de data op een andere manier. Het gemiddelde is het exacte balanspunt van de dataset. De mediaan is het punt dat de laagste 50% van de data scheidt van de hoogste 50%. In een perfect symmetrische verdeling zijn het gemiddelde en de mediaan exact aan elkaar gelijk.

In de praktijk is dit echter vaak niet het geval.

Het gemiddelde kan kleiner of groter zijn dan de mediaan. In dat geval spreken we van een scheve verdeling (skewness).

Als de gemiddelde waarde kleiner is dan (of links ligt van) de mediaan, zeggen we dat de dataset links-scheef (negatief scheef) is. Is het gemiddelde groter dan (of rechts van) de mediaan, dan is de dataset rechts-scheef (positief scheef).

Er is geen 'beste' centrummaat; beide bieden waardevolle inzichten. Veel data-analisten geven echter de voorkeur aan de mediaan bij sterk scheve data of data met veel uitschieters, omdat de mediaan in die gevallen een realistischer beeld geeft van de 'typische' waarde.

Modus Calculator

De modus is de waarde die het vaakst voorkomt in een dataset. Oftewel: de waarde met de hoogste frequentie.

Een dataset is 'unimodaal' als er precies één getal is dat vaker voorkomt dan alle andere.

Hebben twee waarden dezelfde, hoogste frequentie? Dan zijn beide waarden de modus en wordt de dataset 'bimodaal' genoemd.

Als een dataset meer dan twee waarden heeft met deze hoogste frequentie, dan is elke van deze waarden een modus en is de dataset 'multimodaal'.

Komt elk getal in de dataset slechts één keer voor? Dan heeft de dataset geen modus. Het is in dat geval statistisch onjuist om te zeggen dat de modus nul is, aangezien nul een geldige, daadwerkelijke waarde kan zijn (denk aan temperatuurmetingen).

Het grootste voordeel van de modus is dat deze eenvoudig te bepalen is en ongevoelig is voor extreme uitschieters. Een nadeel is dat er situaties zijn waarbij een dataset simpelweg geen modale waarde heeft.

Voorbeeld van het berekenen van de modus

Neem opnieuw onze set van twintig waarden:

60, 60, 84, 45, 59, 70, 42, 59, 53, 70, 69, 70, 120, 160, 95, 50, 75, 55, 72, 70

We vinden de modus als volgt:

Sorteer de dataset in oplopende of aflopende volgorde. In dit geval:

42, 45, 50, 53, 55, 59, 59, 60, 60, 69, 70, 70, 70, 70, 72, 75, 84, 95, 120, 160

Zoek vervolgens naar het getal dat zich het vaakst herhaalt. In deze set is 70 de meest frequente waarde. De modale waarde (modus) van deze dataset is dus 70.

Hoewel de modus een centrummaat is, weerspiegelt het niet altijd het daadwerkelijke midden van een verdeling, zeker niet bij scheve datasets. De modus kan de kleinste waarde, de grootste waarde, of elke waarde daartussenin zijn. Stel dat onze dataset er zo uitzag:

42, 45, 50, 53, 55, 57, 59, 60, 63, 69, 70, 72, 79, 82, 83, 95, 96, 120, 120, 120

Dan zou de modus 120 zijn. In dit scenario is dat absoluut geen goede weergave van de centrale tendens.

Een interessant gegeven is dat het gemiddelde en de mediaan alleen berekend kunnen worden voor kwantitatieve (numerieke) data. De modus daarentegen is te gebruiken voor zowel kwantitatieve als kwalitatieve (categorische) data.

Bijvoorbeeld: Anna eet gemiddeld 12 keer per maand pizza:

• 3 keer een pizza Napoletana,
• 3 keer een pizza Margherita,
• 2 keer een pizza Calzone,
• 1 keer Pepperoni,
• 1 keer Marinara,
• 1 keer Vier Kazen,
• 1 keer Caprese.

In dit kwalitatieve voorbeeld hebben we twee modi (bimodaal): pizza Napoletana en pizza Margherita.

Spreidingsmaten

Spreidingsmaten, ook bekend als maten van variabiliteit, worden gebruikt om de spreiding of variatie binnen een dataset te bepalen. Ze geven aan in hoeverre de individuele waarden afwijken van de centrummaat. We analyseren de variatie in een dataset vaak met behulp van het bereik, de kwartielen en de interkwartielafstand.

Bereik Calculator

Het bereik (range) van een dataset is het verschil tussen de hoogste (maximum) en de laagste (minimum) waarde in de dataset. Dit berekenen we eenvoudig met de volgende formule:

$$Bereik = Grootste\ waarde - Kleinste\ waarde$$

Voorbeeld van het berekenen van het bereik

Voor onze eerdere set van twintig waarden:

60, 60, 84, 45, 59, 70, 42, 59, 53, 70, 69, 70, 120, 160, 95, 50, 75, 55, 72, 70

kunnen we het bereik als volgt berekenen:

Sorteer de dataset in oplopende of aflopende volgorde. Dat ziet er zo uit:

42, 45, 50, 53, 55, 59, 59, 60, 60, 69, 70, 70, 70, 70, 72, 75, 84, 95, 120, 160

De hoogste waarde is 160 en de laagste waarde is 42. Hieruit volgt het bereik:

$$Bereik = grootste\ waarde - kleinste\ waarde = 160 - 42 = 118$$

Voor deze dataset is het bereik dus 118.

Kwartielen Calculator

Kwartielen zijn positiematen die een gesorteerde dataset in vier gelijke delen (kwartalen) splitsen met behulp van drie snijpunten: het eerste, tweede en derde kwartiel.

Het eerste kwartiel, aangeduid met Q₁, is de grens waaronder 25% van de data valt; de overige 75% ligt erboven.

Het tweede kwartiel, aangeduid met Q₂, is precies hetzelfde als de mediaan. Het deelt de dataset in twee gelijke helften: 50% eronder en 50% erboven.

Het derde kwartiel, aangeduid met Q₃, is de grens waaronder 75% van de data valt; de resterende 25% ligt erboven.

Hoe bereken je kwartielen?

Een standaardprocedure voor het berekenen van de kwartielen van een dataset:

1. Sorteer de gegevens in oplopende volgorde.

2. Bepaal het tweede kwartiel door de mediaan te berekenen. Voor het eerste en derde kwartiel gaat u als volgt te werk: bepaal eerst n (het totale aantal waarden in de dataset).

3. Bereken voor het eerste kwartiel L = 0,25n. Bereken voor het derde kwartiel L = 0,75n.

4. Als L een geheel getal is, dan is het kwartiel het gemiddelde van de waarde op positie L en de waarde op positie L + 1.

5. Als L geen geheel getal is, rond dit dan naar boven af tot het dichtstbijzijnde hogere gehele getal. Het kwartiel is de waarde op de positie die overeenkomt met dit afgeronde getal.

Voorbeeld van een kwartielberekening

Laten we de kwartielen bepalen voor onze twintig waarden:

60, 60, 84, 45, 59, 70, 42, 59, 53, 70, 69, 70, 120, 160, 95, 50, 75, 55, 72, 70

We berekenen de kwartielen als volgt:

1. Sorteer de dataset oplopend. Hier is de volgorde:

42, 45, 50, 53, 55, 59, 59, 60, 60, 69, 70, 70, 70, 70, 72, 75, 84, 95, 120, 160

2. Uit onze eerdere berekening weten we al dat het tweede kwartiel 69,5 is:

Mediaan = 69,5

3. Bepaal L voor het eerste kwartiel: 0,25 × 20 = 5. L voor het derde kwartiel is: 0,75 × 20 = 15.

4. 5 is een geheel getal, dus Q₁ berekenen we als het gemiddelde van de 5e en 6e waarde (55 en 59):

$$Q₁=\frac{55+59}{2}=57$$

5. 15 is ook een geheel getal, dus Q₃ is het gemiddelde van de 15e en 16e waarde (72 en 75):

$$Q₃=\frac{72+75}{2}=73,5$$

Voor deze dataset is het eerste kwartiel dus 57, de mediaan (tweede kwartiel) is 69,5 en het derde kwartiel is 73,5.

Interkwartielafstand Calculator

De interkwartielafstand (vaak IQR genoemd, afgeleid van het Engelse Interquartile Range) is het verschil tussen het derde kwartiel (Q₃) en het eerste kwartiel (Q₁). Het is een robuuste maatstaf voor de statistische spreiding van de middelste 50% van de data. U berekent het als volgt:

IQR = Q₃ - Q₁

Voorbeeld van de IQR Berekening

In de vorige sectie hebben we Q₁ en Q₃ al berekend. Deze zijn respectievelijk 57 en 73,5. We hoeven nu alleen nog maar de formule in te vullen:

IQR = Q₃ - Q₁ = 73,5 - 57 = 16,5

De interkwartielafstand voor deze dataset is dus 16,5.

Conclusie en resultaten

Terug naar Luigi en zijn marktonderzoek naar pizzaprijzen. Hij kan uit deze berekeningen een aantal waardevolle conclusies trekken. Het gemiddelde (71,9) en de mediaan (69,5) kwamen niet exact overeen, wat wijst op een lichte scheefheid in de data (veroorzaakt door enkele duurdere pizzeria's). Dit verschil is echter niet extreem. Zowel het gemiddelde als de mediaan geven in dit geval een prima indicatie van de centrale tendens.

Als Luigi een standaardprijs voor zijn pizza Margherita wil bepalen, kan hij zich baseren op deze centrummaten. Echter, prijzen zoals 71.900 IDR of 69.500 IDR zijn commercieel gezien misschien niet erg praktisch. Gelukkig is de modus in deze dataset exact 70 (oftewel 70.000 IDR). Dit is een herkenbaar, rond en handig bedrag dat perfect in zijn prijsstrategie past.

Wil Luigi zich profileren als een budgetvriendelijke pizzeria voor een zuinigere doelgroep? Dan kan hij zijn prijs beter richten op het eerste kwartiel (Q₁), wat neerkomt op ongeveer 57.000 IDR. Het is daarentegen af te raden om klakkeloos op het derde kwartiel (73.500 IDR) te focussen om luxere klanten aan te trekken, omdat deze waarde binnen deze specifieke dataset minder representatief is voor het premium segment.