Driehoek Rekenmachine

Driehoek Rekenmachine

Onze online driehoek rekenmachine is een handige tool waarmee je snel en eenvoudig alle afmetingen van een driehoek kunt berekenen op basis van drie bekende waarden. Vul simpelweg de lengtes van de zijden of de hoeken in, en deze uitgebreide driehoek calculator berekent direct de volgende eigenschappen:

• ontbrekende zijden,
• ontbrekende hoeken van de driehoek,
• oppervlakte, - omtrek, - halve omtrek (semi-omtrek),
• hoogtes (loodlijnen) op alle zijden van de driehoek,
• zwaartelijnen (medianen) van alle zijden van de driehoek,
• straal van de ingeschreven cirkel (inradius), - straal van de omgeschreven cirkel.

Daarnaast toont deze rekenmachine de exacte coördinaten van de hoekpunten, het zwaartepunt en de middelpunten van zowel de in- als omgeschreven cirkel. Hierbij gaan we ervan uit dat de coördinaten van hoekpunt A zich op [0, 0] bevinden.

Gebruiksaanwijzing

Het berekenen van een driehoek is eenvoudig. Voer drie bekende waarden in de invoervelden in. Je kunt een willekeurige combinatie van hoeken en zijden gebruiken. Let op: ten minste één van de ingevoerde waarden moet de lengte van een zijde zijn. Als je alleen drie hoeken invoert, heeft de driehoek namelijk oneindig veel oplossingen (dit heet een gelijkvormige driehoek).

Selecteer vervolgens de gewenste eenheid voor de hoeken: graden of radialen. Kies je voor radialen? Gebruik dan de tekst "pi" om π aan te geven. Voor een hoek van \$\frac{π}{3}\$ vul je bijvoorbeeld "pi/3" in. Klik daarna op "Berekenen". De tool toont direct alle ontbrekende afmetingen uit de bovenstaande lijst, inclusief een overzichtelijke schematische weergave van de berekende driehoek voor een perfecte visualisatie.

Wil je precies weten hoe de resultaten tot stand zijn gekomen? Vouw dan het veld "Toon rekenstappen" uit onder het antwoord. Hier vind je een gedetailleerde uitleg van het wiskundige algoritme en de formules die zijn toegepast om het antwoord te vinden.

Beperkingen op de invoerwaarden

Houd rekening met de volgende wiskundige regels bij het invullen van de velden:

Ten minste één van de drie bekende waarden moet een zijdelengte zijn.

Voer je twee hoeken en één zijde in? Houd er dan rekening mee dat de som van de twee ingevoerde hoeken strikt kleiner moet zijn dan 180° (of π radialen).

Vul je drie zijdelengtes in? Dan moet volgens de driehoeksongelijkheid de som van de lengtes van twee willekeurige zijden altijd groter zijn dan de lengte van de derde overblijvende zijde.

Praktisch Rekenvoorbeeld

Stel je voor dat je gaat verhuizen en een bestelbus van een vriend leent. Je moet zware spullen in- en uitladen, maar de bus heeft geen laadklep. Je hebt wel een draagbare oprijplaat en wilt weten of de afmetingen hiervan veilig passen bij de laadhoogte van de bus. De oprijplaat heeft een vaste vorm met twee gemeten zijden van 1 m en 0,8 m. De hoek tegenover de zijde van 1 m is precies 85 graden (zie de onderstaande afbeelding). Je weet dat de laadhoogte van de bus instelbaar is tussen de 0,5 m en 1 m. Gaat je oprijplaat passen?

Gegeven

• zijde b = 1;
• zijde c = 0,8;
• hoek B = 85 graden.

Oplossing

Om erachter te komen of de oprijplaat bruikbaar is, berekenen we de eigenschappen van de driehoek om te controleren of de lengte van zijde a binnen de verstelbare laadhoogte van de bus valt: 0,5 < a < 1.

Door simpelweg de bekende waarden hierboven in de driehoek rekenmachine in te vullen, krijgen we direct de ontbrekende gegevens. Voor dit specifieke probleem hebben we alleen de ontbrekende lengte van zijde a nodig.

De tool berekent uiteraard ook alle overige waarden (zoals oppervlakte en omtrek), maar die laten we in dit voorbeeld even buiten beschouwing:

Antwoord

• Zijde a = 0,67376

• Zijde b = 1

• Zijde c = 0,8

• hoek A = 42,16° = 42°9'35" = 0,73582 rad

• hoek B = 85° = 1,48353 rad

• hoek C = 52,84° = 52°50'25" = 0,92224 rad

De helling van de oprijplaat ziet er ongeveer zo uit:

Zoals het resultaat laat zien is zijde a ≈ 0,674. Omdat we weten dat de hoogte van de bus ingesteld kan worden binnen het bereik 0,5 < a < 1, past de hoogte van de oprijplaat perfect! Je kunt de bestelbus van je vriend dus met een gerust hart lenen, wat je weer de kosten van een huurbusje bespaart.

De driehoek: definitie en belangrijke wiskundige formules

In de vlakke meetkunde is een driehoek een tweedimensionale figuur die ontstaat door het snijpunt van drie niet-parallelle, rechte lijnen. Eenvoudiger gezegd is een driehoek een veelhoek met drie hoekpunten en drie randen, die we in de wiskunde 'zijden' noemen.

Bestaansvoorwaarden van een driehoek

Er zijn twee fundamentele voorwaarden waaraan voldaan moet worden om een geldige driehoek te vormen. De ene voorwaarde heeft betrekking op de zijden, de andere op de hoeken. De regel voor de zijden staat bekend als de driehoeksongelijkheid. Deze regel stelt dat de som van de lengtes van twee willekeurige zijden van de driehoek altijd strikt groter moet zijn dan de lengte van de derde zijde.

Wanneer de som precies gelijk is, ontstaat er een zogenaamde ontaarde driehoek: hierbij liggen alle drie de hoekpunten op één rechte lijn. Omdat dit een uitzonderlijk wiskundig fenomeen is dat buiten de basismeetkunde valt, laten we dit in deze uitleg buiten beschouwing.

De voorwaarde voor de hoeken (de hoekensom) stelt dat de optelsom van de drie binnenhoeken van een driehoek altijd exact gelijk is aan 180° of π radialen.

Afmetingen van een driehoek berekenen

Hieronder bespreken we de belangrijkste eigenschappen van een driehoek en de wiskundige formules waarmee je deze waarden zelf kunt berekenen.

De omtrek van een driehoek is de totale lengte van de buitenrand (de som van de lengtes van alle zijden) en bereken je als volgt:

p = a + b + c

De halve omtrek (semi-omtrek) van een driehoek is precies de helft van de totale omtrek:

$$s=\frac{p}{2}=\frac{a+b+c}{2}$$

De oppervlakte van een driehoek geeft aan hoeveel tweedimensionale ruimte de figuur inneemt op een vlak. Wanneer de lengtes van twee zijden en de ingesloten hoek tussen deze zijden bekend zijn, bereken je de oppervlakte als volgt:

$$A=\frac{1}{2}a× b×\sin{C}$$

De hoogte van een driehoek is een loodlijn getrokken vanuit een hoekpunt naar de tegenoverliggende zijde. Aangezien een driehoek drie zijden heeft, zijn er ook drie hoogtelijnen. De hoogte loodrecht op zijde a wordt meestal genoteerd als hₐ. De andere twee hoogtelijnen worden aangeduid als h_b en h_c. De eenvoudigste manier om de hoogte te berekenen is via de oppervlakte:

$$A=\frac{1}{2}× a× h_a=\frac{1}{2}× b× h_b=\frac{1}{2}× c× h_c$$

$$h_a=\frac{2A}{a}, h_b=\frac{2A}{b}, h_c=\frac{2A}{c}$$

De zwaartelijn (mediaan) van een driehoek is een lijnstuk dat vanuit een hoekpunt naar het exacte midden van de tegenoverliggende zijde loopt. Iedere driehoek heeft drie zwaartelijnen.

Een zwaartelijn richting zijde a wordt doorgaans genoteerd als mₐ. De andere twee zwaartelijnen worden aangeduid als m_b en m꜀. De lengte van deze zwaartelijnen bereken je met de volgende formule:

$$m_a=\frac{1}{2}\sqrt{2b^2+2c^2-a^2}$$

De inradius van een driehoek is de straal van de ingeschreven cirkel. Dit is de grootste cirkel die precies binnen de driehoek past en alle drie de zijden raakt.

De lengte van deze inradius r bereken je zo:

$$r=\frac{A}{s}$$

De straal van de omgeschreven cirkel is de straal van een cirkel die exact door alle drie de hoekpunten van de driehoek snijdt.

We kunnen de lengte van deze straal R berekenen met behulp van de sinusregel:

$$2R=\frac{a}{\sin{A}}=\frac{b}{\sin{B}}=\frac{c}{\sin{C}}$$

De sinusregel is ontzettend nuttig voor het berekenen van ontbrekende zijden of hoeken van een driehoek. Een andere onmisbare wiskundige stelling is de cosinusregel:

$$a=\sqrt{b^2+c^2-2bc\cos{A}}$$

$$b=\sqrt{a^2+c^2-2ac\cos{B}}$$

$$c=\sqrt{a^2+b^2-2ab\cos{C}}$$

Met de bovenstaande formules ben je in staat om alle afmetingen van een driehoek handmatig te berekenen. Geen zin in ingewikkeld rekenwerk? Onze online driehoek calculator past deze formules op de achtergrond toe om alle ontbrekende waarden razendsnel voor je op te lossen!