Kalkulator Jarak 2D

Kalkulator jarak ini dirancang untuk menghitung jarak antara dua titik pada bidang Cartesius secara akurat jika koordinat kedua titik tersebut diketahui. Alat ini beroperasi secara khusus dalam ruang 2 dimensi (2D).

Karena garis lurus selalu mewakili jarak terpendek antara dua titik, alat ini juga sangat ideal digunakan sebagai kalkulator panjang garis.

Petunjuk penggunaan

Kalkulator jarak 2D ini akan menghitung jarak antara titik 1 dengan koordinat (X₁, Y₁) dan titik 2 dengan koordinat (X₂, Y₂).

Untuk mengetahui jarak antara kedua titik tersebut, cukup masukkan nilai koordinatnya ke dalam kolom yang tersedia. Pastikan Anda mengikuti format penulisan berikut:

• Gunakan tanda koma untuk memisahkan kedua koordinat pada masing-masing titik. Misalnya, ketik "4,5" pada kolom (X₁, Y₁) untuk menentukan titik 1 dengan koordinat x = 4 dan koordinat y = 5. Jika koordinat mengandung nilai desimal, gunakan tanda titik untuk memisahkan bilangan bulat dan pecahannya. Contohnya: ketik "4.5, 7" untuk membuat titik dengan koordinat x = 4.5 dan koordinat y = 7.
• Anda hanya dapat memasukkan bilangan bulat dan bilangan desimal sebagai nilai koordinat. Format bilangan pecahan (seperti 1/2) tidak akan diterima oleh sistem.
• Penggunaan spasi di antara koordinat tidak diwajibkan, tetapi Anda dapat menambahkannya agar angka lebih mudah dibaca.

Setelah memastikan koordinat sudah benar, klik tombol "Hitung". Kalkulator akan menampilkan hasil akhir beserta langkah-langkah penyelesaian (algoritme) yang terperinci.

Untuk mengosongkan semua kolom formulir dan memulai perhitungan baru, klik tombol "Hapus".

Rumus jarak

Pada bidang dua dimensi, jarak d antara titik 1 (X₁, Y₁) dan titik 2 (X₂, Y₂) dapat dihitung menggunakan rumus jarak berikut:

$$d=\sqrt{(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2}$$

Dengan kata lain: jarak antara dua titik dalam ruang 2D adalah akar kuadrat dari jumlah kuadrat selisih koordinat yang bersesuaian. Rumus ini secara luas dikenal sebagai rumus jarak Euclidean. Oleh karena itu, kalkulator ini juga sering disebut sebagai kalkulator jarak Euclidean.

Penurunan rumus jarak Euclidean

Untuk memahami dari mana rumus ini berasal, mari kita tinjau dua titik acak yang terletak pada bidang koordinat (X, Y):

Untuk mencari jarak antara titik 1 dan titik 2, tariklah sebuah garis vertikal ke bawah dari titik 2, dan sebuah garis horizontal ke kanan dari titik 1. Kedua garis ini, bersama dengan garis jarak yang sedang dicari, akan membentuk sebuah segitiga siku-siku.

Sisi tegak (vertikal) dari segitiga ini diwakili oleh selisih jarak vertikal antara titik 1 dan titik 2, yaitu: Y₂ – Y₁. Sisi mendatar (horizontal) segitiga diwakili oleh selisih jarak horizontal antara kedua titik, yaitu: X₂ – X₁.

Sisi miring (hipotenusa) dari segitiga inilah yang mewakili jarak aktual antara kedua titik tersebut. Karena panjang kedua sisi siku-sikunya telah diketahui, panjang sisi miring dapat dihitung dengan mudah menggunakan Teorema Pythagoras:

$$d^2=(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2$$

$$d=\sqrt{(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2}$$

Contoh perhitungan

Contoh 1

Mari kita hitung jarak antara titik 1 dengan (X₁, Y₁) = (3, 1) dan titik 2 dengan (X₂, Y₂) = (5, 7). Dengan memasukkan nilai X₁, Y₁, X₂, dan Y₂ ke dalam rumus jarak Euclidean, kita mendapatkan langkah-langkah berikut:

$$d=\sqrt{(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2}=\sqrt{(5-3)^2+(7-1)^2}=\sqrt{2^2+6^2}$$

$$\sqrt{2^2+6^2}=\sqrt{4+36}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}\approx 6.32$$

Perhatikan bahwa mengubah urutan titik tidak akan memengaruhi hasil akhir, karena selisih antara koordinat-koordinat tersebut akan dikuadratkan (sehingga nilai negatif tetap menjadi positif). Mari kita buktikan dengan menukar urutannya, dengan asumsi (X₁, Y₁) = (5, 7) dan (X₂, Y₂) = (3, 1):

$$d=\sqrt{(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2}=\sqrt{(3-5)^2+(1-7)^2}=\sqrt{(-2)^2+(-6)^2}$$

$$\sqrt{2^2+6^2}=\sqrt{4+36}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}\approx 6.32$$

Contoh 2

Sekarang, mari kita lihat contoh yang melibatkan koordinat negatif. Kita akan mencari jarak antara titik 1 dengan (X₁, Y₁) = (-4, 2) dan titik 2 dengan (X₂, Y₂) = (6, -6). Dengan menerapkan nilai-nilai ini ke dalam rumus jarak Euclidean, kita akan mendapatkan:

$$d=\sqrt{(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2}=\sqrt{(6-(-4))^2+(-6-2)^2}=\sqrt{10^2+(-8)^2}$$

$$\sqrt{10^2+(-8)^2}=\sqrt{100+64}=\sqrt{164}=2\sqrt{41}\approx 12,8$$

Contoh di kehidupan nyata

Seperti yang telah diuraikan sebelumnya, rumus jarak Euclidean berakar kuat dari teorema Pythagoras. Namun, rumus ini mengadaptasi teorema tersebut untuk skenario di mana hanya koordinat titik yang diketahui (bukan panjang sisi fisik segitiga seperti yang biasa digunakan oleh teorema Pythagoras). Rumus ini sangat berguna untuk menghitung jarak presisi dari titik koordinat pada peta, grafik, maupun sistem navigasi. Selain itu, rumus ini juga diaplikasikan dalam menghitung besaran bilangan kompleks dan vektor.

Contoh 3

Bayangkan sebuah tangga yang bersandar pada dinding. Dalam pemodelan ini, lantai mewakili sumbu X pada bidang 2D, dan dinding mewakili sumbu Y, seperti yang diilustrasikan pada gambar di bawah ini. Jika ujung atas tangga bersandar di dinding pada titik (0, 2), dan ujung bawahnya menyentuh lantai pada titik (3, 0), hitunglah panjang tangga tersebut!

Solusi

Untuk menentukan panjang tangga pada bidang 2 dimensi yang dibentuk oleh dinding dan lantai, pertama-tama kita harus mengidentifikasi koordinat ujung-ujung tangga: X₁, Y₁, X₂, Y₂.

Mari kita tetapkan titik di mana tangga menyentuh dinding sebagai titik 1 (X₁, Y₁), dan titik di mana tangga menyentuh lantai sebagai titik 2 (X₂, Y₂). Diketahui bahwa tangga menyentuh dinding pada titik koordinat (0, 2). Oleh karena itu, (X₁, Y₁) = (0, 2):

X₁ = 0, Y₁ = 2

Perhatikan bahwa X₁ = 0. Hal ini secara logis diilustrasikan pada gambar di atas, di mana titik pangkal (0, 0) adalah sudut pertemuan fisik antara dinding dan lantai. Hal ini membuat titik koordinat X dan Y bernilai negatif menjadi tidak mungkin dalam konteks ruangan ini.

Selanjutnya, diketahui bahwa tangga menyentuh lantai pada titik koordinat (3, 0). Maka, (X₂, Y₂) = (3, 0):

X₂ = 3, Y₂ = 0

Nilai Y₂ = 0 karena titik koordinat ini berada tepat di permukaan lantai. Sekarang, mari kita terapkan rumus jarak untuk menghitung panjang tangganya:

$$d=\sqrt{(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2}=\sqrt{(3-0)^2+(0-2)^2}=\sqrt{3^2+(-2)^2}$$

$$\sqrt{3^2+(-2)^2}=\sqrt{9+4}=\sqrt{13}\approx 3,6$$

Jawaban

Panjang tangga tersebut adalah sekitar 3,6 satuan.

Jarak di dalam ruang 3D

Jarak Euclidean pada dasarnya adalah apa yang dipahami kebanyakan orang secara umum sebagai "jarak". Ketika kita mengatakan sebuah benda berada sejauh 5 meter dari kita, jarak Euclidean-lah yang sedang kita pikirkan. Menariknya, rumus jarak yang dijelaskan di atas dapat diekstrapolasi atau diperluas dengan mudah untuk dimensi 3 (bahkan lebih!).

Dalam ruang 3 dimensi (3D), jarak antara titik 1 dengan koordinat (X₁, Y₁, Z₁) dan titik 2 dengan koordinat (X₂, Y₂, Z₂) dapat dihitung menggunakan akar kuadrat dari jumlah kuadrat selisih seluruh koordinatnya:

$$d=\sqrt{(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2+(Z₂-Z₁)^2}$$