Calculateur de distance en 2D

Ce calculateur de distance vous permet de calculer rapidement et précisément la distance entre deux points sur un plan cartésien à partir de leurs coordonnées. Conçu pour fonctionner dans un espace en deux dimensions (2D), cet outil est idéal pour vos problèmes de géométrie analytique.

Puisqu'une ligne droite représente le chemin le plus court entre deux points, ce calculateur fait également office de calculateur de longueur de segment ou de ligne.

Mode d'emploi

Ce calculateur détermine la distance entre un point 1 de coordonnées (X₁, Y₁) et un point 2 de coordonnées (X₂, Y₂).

Pour trouver la distance entre deux points, il vous suffit de saisir leurs coordonnées dans les champs correspondants. Voici comment bien formater vos données :

• Séparez les deux coordonnées de chaque point par une virgule. Par exemple, tapez « 4,5 » dans le champ (X₁, Y₁) pour définir un point 1 ayant pour abscisse (x) 4 et pour ordonnée (y) 5. Si vos coordonnées comportent des nombres décimaux, la virgule servira aussi de séparateur décimal. Dans ce cas, entrez simplement les trois chiffres séparés par des virgules : par exemple, la saisie « 4,5,7 » sera interprétée comme un point de coordonnées x = 4,5 et y = 7.
• Le calculateur n'accepte que les nombres entiers et décimaux. Les fractions ne sont pas prises en charge.
• L'ajout d'espaces entre les coordonnées n'est pas obligatoire, mais vous pouvez le faire pour faciliter la lecture et pour plus de commodité.

Une fois les coordonnées renseignées, cliquez sur « Calculer ». L'outil affichera non seulement le résultat final, mais aussi l'algorithme détaillé de la solution étape par étape.

Formule de calcul de la distance

Sur un plan en deux dimensions, la distance d entre un point 1 de coordonnées (X₁, Y₁) et un point 2 de coordonnées (X₂, Y₂) se calcule à l'aide de la formule mathématique suivante :

$$d=\sqrt{(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2}$$

En d'autres termes, la distance séparant deux points dans un espace 2D est égale à la racine carrée de la somme des carrés des différences de leurs coordonnées respectives. Cette équation fondamentale est connue sous le nom de formule de la distance euclidienne. C'est pourquoi cet outil peut aussi être appelé « calculateur de distance euclidienne ».

Démonstration de la formule de la distance euclidienne

Pour bien comprendre d'où vient cette formule, plaçons deux points quelconques sur un plan de coordonnées (X, Y) :

Pour déterminer la distance qui sépare le point 1 du point 2, traçons une ligne verticale vers le bas depuis le point 2, et une ligne horizontale vers la droite depuis le point 1. L'intersection de ces deux droites et le segment reliant nos deux points forment un triangle rectangle.

Le côté vertical (l'un des côtés de l'angle droit) de ce triangle correspond à la différence d'ordonnées entre les deux points : Y₂ - Y₁. Le côté horizontal correspond à la différence d'abscisses : X₂ - X₁.

L'hypoténuse de ce triangle représente exactement la distance recherchée entre nos deux points. En connaissant la longueur des deux côtés de l'angle droit, nous pouvons calculer la longueur de l'hypoténuse grâce au célèbre théorème de Pythagore :

$$d^2=(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2$$

Ce qui nous donne, en isolant d :

$$d=\sqrt{(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2}$$

Exemples de calculs

Exemple 1

Calculons la distance entre un point 1 de coordonnées (X₁, Y₁) = (3, 1) et un point 2 de coordonnées (X₂, Y₂) = (5, 7). En substituant ces valeurs dans la formule de la distance euclidienne, nous obtenons :

$$d=\sqrt{(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2}=\sqrt{(5-3)^2+(7-1)^2}=\sqrt{2^2+6^2}$$

$$\sqrt{2^2+6^2}=\sqrt{4+36}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}\approx 6,32$$

Notez que l'inversion de l'ordre des points ne modifie pas le résultat final, car les différences entre les coordonnées sont élevées au carré (ce qui donne toujours un nombre positif). Refaisons le même calcul en considérant cette fois que (X₁, Y₁) = (5, 7) et (X₂, Y₂) = (3, 1) :

$$d=\sqrt{(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2}=\sqrt{(3-5)^2+(1-7)^2}=\sqrt{(-2)^2+(-6)^2}$$

$$\sqrt{2^2+6^2}=\sqrt{4+36}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}\approx 6,32$$

Exemple 2

Prenons maintenant un exemple incluant des coordonnées négatives. Cherchons la distance entre le point 1 défini par (X₁, Y₁) = (-4, 2) et le point 2 défini par (X₂, Y₂) = (6, -6). En appliquant la même formule :

$$d=\sqrt{(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2}=\sqrt{(6-(-4))^2+(-6-2)^2}=\sqrt{10^2+(-8)^2}$$

$$\sqrt{10^2+(-8)^2}=\sqrt{100+64}=\sqrt{164}=2\sqrt{41}\approx 12,8$$

Applications concrètes et cas pratiques

Comme nous l'avons vu précédemment, la formule de la distance euclidienne découle directement du théorème de Pythagore. Elle permet toutefois d'adapter ce théorème à des situations où seules les coordonnées des points sont connues, plutôt que la longueur des côtés d'un triangle.

Cette méthode de calcul est particulièrement utile en géométrie pour évaluer des distances à partir de coordonnées sur une carte géographique ou un graphique. Elle sert également en mathématiques avancées pour calculer le module de nombres complexes ou la norme de vecteurs.

Exemple 3

Imaginez une échelle posée contre un mur. Dans ce scénario, le sol représente l'axe des abscisses (axe x) de notre plan 2D et le mur représente l'axe des ordonnées (axe y), comme illustré sur l'image ci-dessous. Si l'échelle s'appuie sur le mur au point de coordonnées (0, 2) et repose sur le sol au point (3, 0), trouvez la longueur de cette échelle.

Solution

Pour trouver la longueur de l'échelle dans ce repère formé par le mur et le sol, identifions d'abord les coordonnées de ses extrémités : X₁, Y₁, X₂ et Y₂. Appelons « point 1 » l'endroit où l'échelle touche le mur (X₁, Y₁), et « point 2 » l'endroit où elle touche le sol (X₂, Y₂).

Nous savons que le point de contact avec le mur a pour coordonnées (0, 2). Ainsi, (X₁, Y₁) = (0, 2) :

X₁ = 0, Y₁ = 2

On remarque que X₁ = 0. Ceci est parfaitement logique sur le schéma, puisque l'origine du repère (0, 0) correspond à la jonction physique entre le mur et le sol, rendant toute valeur négative de X ou Y impossible.

Nous savons également que l'échelle touche le sol au point de coordonnées (3, 0). Par conséquent, (X₂, Y₂) = (3, 0) :

X₂ = 3, Y₂ = 0

Ici, Y₂ = 0 puisque ce point est situé directement au niveau du sol. Utilisons maintenant la formule de la distance pour calculer la longueur de l'échelle :

$$d=\sqrt{(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2}=\sqrt{(3-0)^2+(0-2)^2}=\sqrt{3^2+(-2)^2}$$

$$\sqrt{3^2+(-2)^2}=\sqrt{9+4}=\sqrt{13}\approx 3,6$$

Réponse

La longueur de l'échelle est d'environ 3,6.

Calcul de la distance en 3D

La « distance euclidienne » correspond à ce que la plupart d'entre nous appelons communément la « distance ». Lorsque nous disons qu'un objet se trouve à 5 mètres, c'est de la distance euclidienne que nous parlons. La logique détaillée plus haut peut tout à fait s'extrapoler à un espace en 3 dimensions (et même au-delà !).

Dans un espace en 3D, la distance entre un point 1 de coordonnées (X₁, Y₁, Z₁) et un point 2 de coordonnées (X₂, Y₂, Z₂) se calcule en extrayant la racine carrée de la somme des carrés des différences entre leurs trois coordonnées respectives :

$$d=\sqrt{(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2+(Z₂-Z₁)^2}$$