Calculatrice de permutations

Cet outil, notre calculatrice de permutations, permet de calculer rapidement le nombre de façons de disposer n objets distincts en sélectionnant un échantillon de r éléments à la fois. Elle indique exactement combien d'arrangements sont possibles lorsque l'ordre des éléments a une importance cruciale. En mathématiques, on note n le nombre total d'objets disponibles, et r le nombre d'éléments choisis pour former chaque groupe.

Par exemple, si vous souhaitez arranger les lettres X, Y et Z par groupes de deux, vous obtiendrez les combinaisons suivantes : XY, XZ, YZ, YX, ZX et ZY, soit 6 permutations possibles.

Pour utiliser notre simulateur de permutations en ligne, il vous suffit de saisir n (le nombre total d'objets à ordonner) et r (la taille de l'échantillon ou du groupe), puis de cliquer sur « Calculer ».

Permutations

En analyse combinatoire, une permutation désigne l'arrangement des éléments d'un ensemble selon une séquence ou un ordre bien précis. Si un ensemble est déjà ordonné, toute modification de cette disposition constitue une permutation. La règle d'or ici est que l'ordre des éléments est fondamental. Par exemple, les séquences AB et BA représentent deux permutations totalement distinctes. Le nombre de permutations de n objets pris parmi un échantillon de r éléments est généralement noté nPr.

Le calcul de ces arrangements dépend de la nature des objets et des règles appliquées, notamment si les répétitions sont autorisées ou non. En l'absence de précision, la norme mathématique implique de calculer des permutations sans répétition.

Dans ce guide, nous nous concentrerons exclusivement sur des exemples concrets de permutations sans répétition.

Le calcul des permutations repose sur le principe fondamental du dénombrement (ou principe multiplicatif). Ce dernier stipule que si une première étape d'une expérience peut se produire de n₁ façons, une deuxième de n₂ façons, et ainsi de suite jusqu'à une étape k se produisant de nₖ façons, alors le nombre total de façons de réaliser cette séquence d'événements est égal au produit : n₁ × n₂ × ... × nₖ.

Prenons un exemple pratique : supposons que nous voulions déterminer le nombre d'arrangements possibles avec les lettres A, B et C, sans aucune répétition. N'importe quelle lettre peut occuper la première position, ce qui nous donne 3 choix possibles.

Une fois cette première lettre placée, il ne nous en reste plus que deux pour la deuxième position, soit 2 choix possibles. Enfin, pour la dernière position, il ne reste logiquement qu'une seule lettre, donc 1 seul choix.

En appliquant le principe fondamental du dénombrement, il y a donc 3 × 2 × 1 = 6 façons d'arranger les lettres A, B et C. Il s'agit des permutations : ABC, ACB, BCA, BAC, CAB et CBA.

La factorielle

Dans l'exemple précédent, nous avons vu que le nombre de permutations de 3 objets distincts est égal à 3 × 2 × 1 = 6. De manière générale, le nombre de permutations possibles pour n objets totaux équivaut à la multiplication : n × (n-1) × (n-2) × ... × 1.

Il s'agit du produit de tous les nombres entiers strictement positifs décroissants de n jusqu'à 1. En mathématiques, cette opération fondamentale porte le nom de factorielle et est symbolisée par un point d'exclamation (!).

L'expression n! = n × (n-1) × (n-2) × ... × 1 se lit donc « factorielle de n » ou « n factorielle ».

Remarque importante : Par convention mathématique, 0! = 1 et 1! = 1.

Exemple de permutations

Lors des Jeux Olympiques, une piste d'athlétisme standard comporte 9 couloirs. Toutefois, pour la mythique épreuve du 100 mètres, le couloir 1 est rarement utilisé. Ainsi, les 8 sprinteurs sont répartis dans les couloirs 2 à 9. De combien de façons différentes peut-on placer ces 8 athlètes dans ces 8 couloirs ?

D'après le principe fondamental du dénombrement :

• n'importe lequel des 8 coureurs peut être placé dans le couloir 2,
• n'importe lequel des 7 coureurs restants peut être placé dans le couloir 3,
• n'importe lequel des 6 coureurs restants peut être placé dans le couloir 4,
• n'importe lequel des 5 coureurs restants peut être placé dans le couloir 5,
• n'importe lequel des 4 coureurs restants peut être placé dans le couloir 6,
• n'importe lequel des 3 coureurs restants peut être placé dans le couloir 7,
• n'importe lequel des 2 coureurs restants peut être placé dans le couloir 8,
• le coureur restant est obligatoirement placé dans le couloir 9.

Par conséquent, le nombre total d'arrangements possibles pour ces 8 athlètes équivaut à : 8! = 8 × 7 × 6 × ... × 2 × 1 = 40 320 permutations.

Pour vérifier ce résultat avec notre outil de calcul de permutations, il vous suffit d'entrer 8 dans le champ n (nombre d'objets) et 8 dans le champ r (taille de l'échantillon). En cliquant sur « Calculer », vous obtiendrez instantanément 40 320.

Permutation de sous-ensembles

Jusqu'à présent, nous avons étudié des arrangements intégrant la totalité des éléments de l'ensemble de départ. Néanmoins, il est très fréquent de devoir ordonner seulement un sous-groupe d'éléments (un échantillon) tiré d'un ensemble plus vaste.

Dans cette configuration, le nombre total d'objets disponibles est toujours n, et la taille du sous-groupe sélectionné est r. La formule des permutations est alors la suivante :

$$ₙPᵣ = \frac{n!}{\left(n-r\right)!}$$

Cette équation est la clé pour calculer les permutations sans répétition lorsqu'il s'agit de tirer et d'ordonner un échantillon r parmi une population globale n.

À titre de rappel, si vous sélectionnez et ordonnez tous les éléments de votre ensemble (soit n = r), la formule se simplifie pour devenir la factorielle de n :

$$ₙPᵣ=n!$$

Exemple

Reprenons l'exemple de la finale olympique du 100 mètres. Imaginons maintenant que l'on se concentre uniquement sur le podium. Trois médailles sont en jeu : le premier remporte l'or, le deuxième l'argent et le troisième le bronze. Parmi les 8 sprinteurs au départ, combien y a-t-il de podiums possibles (les trois médaillés dans l'ordre de franchissement de la ligne) ?

En suivant la logique du dénombrement, n'importe lequel des 8 coureurs peut franchir la ligne d'arrivée en premier. Une fois la médaille d'or attribuée, il reste 7 coureurs en lice pour l'argent. Enfin, après l'attribution des deux premières places, 6 athlètes peuvent décrocher le bronze. Le nombre total de permutations possibles pour ce podium (de la première à la troisième place) est donc : 8 × 7 × 6 = 336.

Pour gagner du temps, appliquons directement la formule des permutations :

$$ₙPᵣ = \frac{n!}{\left(n-r\right)!}$$

Ce qui nous donne :

$$₈P₃=\frac{8!}{\left(8-3\right)!}=\frac{8!}{5!}=\frac{8×7×6×5×4×\ldots×1}{5×4×\ldots×1}=8×7×6=336$$

Si vous utilisez notre calculatrice de permutations, tapez simplement 8 dans le champ n (objets) et 3 dans le champ r (échantillon). Cliquez sur « Calculer » et l'outil affichera le résultat : 336 podiums possibles.

Permutations et combinaisons : la différence

En dénombrement, il est indispensable de faire la distinction avec une autre technique mathématique : les combinaisons. Les combinaisons représentent les différentes façons de sélectionner un sous-ensemble d'objets r à partir d'un groupe plus grand n. Mathématiquement, le nombre de combinaisons possibles est noté ₙCᵣ.

La différence fondamentale entre les deux concepts réside dans la notion de classement. Pour une permutation, l'ordre d'apparition est essentiel. En revanche, pour une combinaison, l'ordre de sélection n'a absolument aucune importance.

Reprenons l'exemple des lettres X, Y et Z arrangées par paires. Comme vu précédemment, il existe 6 permutations possibles : XY, XZ, YZ, YX, ZX et ZY.

En revanche, si l'on cherche les combinaisons de ces mêmes lettres par paires, on n'en trouvera que 3 : XY, XZ et YZ. Pourquoi ? Parce que dans l'univers des combinaisons, XY et YX constituent exactement la même sélection, tout comme XZ et ZX, ou YZ et ZY. L'ordre de disposition étant ignoré, seules les entités présentes comptent.

Voici la formule de calcul permettant de trouver le nombre de combinaisons de r objets parmi n :

$$ₙCᵣ=\frac{n!}{r!\left(n-r\right)!}$$

Exemple : calcul de combinaisons

Dans le scénario de notre course, nous avons déterminé le nombre de podiums ordonnés (or, argent, bronze) parmi 8 finalistes. Supposons à présent que la règle change : les 3 premiers athlètes à franchir la ligne gagnent chacun une place qualificative identique pour la prochaine compétition, sans distinction de classement. Peu importe qui arrive premier ou troisième, seul le fait de figurer dans le trio de tête compte.

Dans ce cas précis, on calcule des combinaisons, puisque l'ordre de franchissement de la ligne n'influence plus la récompense. On recourt donc à la formule des combinaisons :

$$ₙCᵣ = \frac{n!}{r!(n-r)!}$$

Le nombre de trios qualificatifs possibles parmi un groupe de 8 coureurs s'élève donc à :

$$₈C₃=\frac{8!}{3! × \left(8-3\right)!}=\frac{8!}{3! × 5!}=\frac{8 × 7 × 6}{3 × 2 × 1}=8×7=56$$

Exemples : calculs de permutations

1. Un producteur de journal télévisé doit sélectionner 3 intervenants parmi 5 conférenciers disponibles pour son émission. L'ordre de passage à l'antenne est crucial pour maintenir l'attention du public, et un même invité ne peut pas intervenir deux fois. Combien existe-t-il de plannings de passage différents ? Étant donné que l'ordre importe et qu'il n'y a pas de répétition, l'application de la formule des permutations s'impose :

$$ₙPᵣ = \frac{n!}{(n-r)!}$$

$$₅P₃ = \frac{5!}{(5-3)!} = \frac{5!}{2!} = 5 × 4 × 3 = 60$$

Le producteur dispose ainsi de 60 manières différentes de programmer ses intervenants.

2. Un critique gastronomique a présélectionné 10 excellents restaurants de sushis en ville pour établir son « Top 3 ». Les établissements doivent être présentés selon un ordre de préférence (1er, 2e, 3e), et un restaurant ne peut logiquement pas apparaître plusieurs fois dans le classement. Les conditions (ordre déterminant et absence de répétition) requièrent l'utilisation de la formule des permutations :

$$ₙPᵣ = \frac{n!}{(n-r)!}$$

$$₁₀P₃ = \frac{10!}{(10-3)!} = \frac{10!}{7!} = 10 × 9 × 8 = 720$$

Le critique peut publier 720 classements distincts.

3. Important : En mathématiques combinatoires, lorsque l'on dit que l'ordre est important, cela n'implique pas forcément un classement numérique classique (1er, 2e, 3e, etc.). L'ordre peut se matérialiser par l'affectation spécifique de ressources distinctes à des tâches précises.

Imaginons un gérant d'une entreprise de rénovation. Aujourd'hui, il doit répartir quatre chantiers de peinture : un bureau d'agence, un entrepôt industriel, un magasin de vêtements et une chambre chez un particulier. L'entreprise compte six artisans peintres disponibles. Chacun ne peut prendre en charge qu'un seul chantier par jour, et deux peintres seront donc au repos.

Ici, les « objets » ou « positions » à pourvoir sont les chantiers (bureau = position 1, entrepôt = position 2, magasin = position 3, chambre = position 4).

Le gérant fait face au cas de figure suivant :

• 6 artisans potentiels pour repeindre le bureau,
• 5 artisans restants pouvant être affectés à l'entrepôt,
• 4 artisans restants pour le magasin,
• 3 artisans restants pour peindre la chambre.

Intuitivement, selon le principe multiplicatif, on déduit qu'il y a 6 × 5 × 4 × 3 = 360 planifications possibles.

L'affectation nominative d'un peintre à un lieu précis est essentielle (l'ordre importe) et chaque peintre ne travaille que sur un seul site (pas de répétition). Nous validons ainsi le calcul par la formule des permutations :

$$ₙPᵣ = \frac{n!}{(n-r)!}$$

$$\frac{6!}{(6-4)!} = \frac{6!}{2!} = 6 × 5 × 4 × 3 = 360$$

Le gérant dispose bel et bien de 360 façons différentes d'attribuer ses équipes aux chantiers du jour.