ماشین حساب جایگشت

ماشین حساب جایگشت (Permutation Calculator) ابزاری هوشمند است که تعداد روش‌های ممکن برای مرتب‌سازی n شیء متمایز را در قالب گروه‌های r عضوی محاسبه می‌کند. این ابزار ریاضی به ما نشان می‌دهد که چگونه می‌توان اشیاء را در دسته‌هایی که «ترتیب» در آن‌ها اهمیت دارد، چیدمان کرد. در اینجا، کل اشیایی که قرار است مرتب شوند با متغیر n و تعداد عناصر هر گروه با متغیر r نشان داده می‌شود.

برای مثال، اگر بخواهیم حروف X، Y و Z را در گروه‌های دو حرفی مرتب کنیم، ترکیب‌های XY، XZ، YZ، YX، ZX و ZY را خواهیم داشت؛ یعنی دقیقاً ۶ روش مختلف.

برای استفاده از این ماشین حساب آنلاین، کافی است مقدار n (کل اشیاء) و r (تعداد عناصر هر نمونه) را وارد کرده و روی دکمه «محاسبه» کلیک کنید.

جایگشت‌ها

در علم ریاضیات، جایگشت یک مجموعه به معنای چیدمان اعضای آن در یک توالی یا ترتیب خاص است. اگر مجموعه‌ای از پیش مرتب شده باشد، هر تغییر در آن چیدمان، یک جایگشت از عناصر آن محسوب می‌شود. ویژگی اصلی جایگشت این است که ترتیب قرارگیری عناصر در آن بسیار مهم است. به عنوان مثال، چیدمان‌های AB و BA دو جایگشت کاملاً متفاوت در نظر گرفته می‌شوند. تعداد جایگشت‌های n شیء در نمونه‌هایی از r شیء با نماد nPr نشان داده می‌شود.

محاسبه تعداد جایگشت‌ها به نوع اشیاء و مهم‌تر از آن، به این بستگی دارد که آیا «تکرار» مجاز است یا خیر. در حالت پیش‌فرض و مگر در مواردی که خلاف آن ذکر شود، فرض بر این است که در محاسبه جایگشت‌ها، تکرار اعضا مجاز نیست.

در این مقاله، تمرکز ما بر بررسی نمونه‌هایی از جایگشت‌ها بدون در نظر گرفتن تکرار خواهد بود.

جایگشت‌ها از اصل اساسی شمارش پیروی می‌کنند. این اصل بیان می‌کند که اگر یک آزمایش شامل k رویداد باشد، به‌طوری‌که رویداد اول n₁ بار، رویداد دوم n₂ بار رخ دهد و این روند تا رویداد k ام که nₖ بار رخ می‌دهد ادامه یابد، تعداد کل روش‌هایی که این آزمایش می‌تواند به صورت متوالی اتفاق بیفتد، از ضرب تعداد دفعات رخ دادن هر رویداد به دست می‌آید: n₁ × n₂ × ... × nₖ.

فرض کنید می‌خواهیم تعداد چیدمان‌های ممکن برای حروف A، B و C را بدون تکرار محاسبه کنیم. هر یک از این حروف می‌تواند در جایگاه اول قرار گیرد، پس ۳ راه برای انتخاب حرف اول وجود دارد.

پس از تعیین حرف اول، دو حرف باقی می‌ماند و هر یک از آن‌ها می‌تواند در جایگاه دوم قرار گیرد؛ بنابراین ۲ راه برای انتخاب حرف دوم داریم. پس از تعیین حرف دوم، تنها یک حرف باقی می‌ماند، پس فقط ۱ راه برای جایگاه سوم وجود خواهد داشت.

بنابراین، بر اساس اصل اساسی شمارش، 3 × 2 × 1 = 6 راه برای چیدمان حروف ABC وجود دارد که عبارتند از: ABC، ACB، BCA، BAC، CAB و CBA.

فاکتوریل

در بخش قبل، به این نتیجه رسیدیم که تعداد جایگشت‌های ۳ شیء متمایز برابر با 3 × 2 × 1 = 6 است. به طور کلی، تعداد جایگشت‌های n شیء متمایز (هنگامی که همه آن‌ها را در نظر بگیریم) با فرمول n × (n-1) × (n-2) × ... × 1 محاسبه می‌شود.

این عملیات ریاضی، یعنی حاصل‌ضرب تمام اعداد صحیح و مثبت از n تا ۱، با نام فاکتوریل (Factorial) شناخته می‌شود و در ریاضیات با نماد تعجب (!) نشان داده می‌شود.

بنابراین، فرمول آن به صورت n! = n × (n-1) × (n-2) × ... × 1 نوشته شده و «n فاکتوریل» خوانده می‌شود.

نکته مهمی که در ریاضیات باید به خاطر داشته باشید این است که 0! = 1 و 1! = 1 می‌باشد.

نمونه‌ای از جایگشت‌ها

پیست استاندارد مسابقات دو و میدانی در المپیک معمولاً دارای ۹ خط است. با این حال، در مسابقه ۱۰۰ متر، معمولاً از خط ۱ استفاده نمی‌شود. در این حالت، ۸ دونده در خطوط ۲ تا ۹ در یک ردیف مستقر می‌شوند. چند روش ممکن برای چیدمان این ۸ دونده در خطوط ۲ تا ۹ وجود دارد؟

بر اساس اصل شمارش:

• هر یک از 8 دونده می‌تواند خط 2 را بگیرد،
• هر یک از 7 دونده‌ی باقیمانده می‌تواند خط 3 را بگیرد،
• هر یک از 6 دونده‌ی باقیمانده می‌تواند خط 4 را بگیرد،
• هر یک از 5 دونده‌ی باقیمانده می‌تواند خط 5 را بگیرد،
• هر یک از 4 دونده‌ی باقیمانده می‌تواند خط 6 را بگیرد،
• هر یک از 3 دونده‌ی باقیمانده می‌تواند خط 7 را بگیرد،
• هر یک از 2 دونده‌ی باقیمانده می‌تواند خط 8 را دریافت کند،
• یک دونده‌ی باقیمانده خط 9 را دریافت می‌کند.

بنابراین، تعداد کل جایگشت‌های ممکن برای چیدمان ۸ دونده در ۸ خط برابر است با 8! = 8 × 7 × 6 × ... × 2 × 1 = 40,320 روش متفاوت.

در ماشین حساب جایگشت، کافی است عدد ۸ را در هر دو کادر n (اشیاء) و r (نمونه) وارد کرده و روی محاسبه کلیک کنید تا به سرعت به عدد ۴۰,۳۲۰ برسید.

جایگشت زیرمجموعه‌ها

در مثال‌های قبلی، به بررسی جایگشت‌هایی پرداختیم که در آن‌ها تمامی اشیاء در چیدمان لحاظ می‌شدند. با این حال، در بسیاری از مسائل ریاضی، تنها بخشی از اشیاء (یک زیرمجموعه) در گروه‌های کوچک‌تر چیده می‌شوند.

در چنین مواردی، تعداد کل اشیاء با n و تعداد اشیایی که در هر گروه قرار می‌گیرند (نمونه) با r نشان داده می‌شود. فرمول محاسبه تعداد جایگشت‌ها در این حالت به شکل زیر است:

$$ₙPᵣ = \frac{n!}{\left(n-r\right)!}$$

این فرمول برای محاسبه جایگشت‌های جزئی یا زیرمجموعه‌ها کاربرد دارد.

مثال

در مثال قبلی، تعداد کل روش‌های ممکن برای چیدمان هشت دونده در مسابقه ۱۰۰ متر را بررسی کردیم. اکنون فرض کنید در همان مسابقه، تنها سه مدال توزیع می‌شود؛ نفر اول مدال طلا، نفر دوم مدال نقره و نفر سوم مدال برنز را کسب می‌کند. از بین این ۸ دونده، چند حالت مختلف برای توزیع مدال‌های طلا، نقره و برنز وجود دارد؟

بر اساس اصل شمارش، هر یک از ۸ دونده شانس کسب مقام اول را دارد. پس از مشخص شدن نفر اول، هفت دونده برای رقابت بر سر مقام دوم باقی می‌مانند. در نهایت، پس از تعیین نفر دوم، شش دونده برای کسب مقام سوم رقابت می‌کنند. بنابراین، تعداد کل جایگشت‌های ممکن برای تعیین سه نفر برتر از میان ۸ دونده برابر است با: 8 × 7 × 6 = 336

با استفاده از فرمول جایگشت:

$$ₙPᵣ = \frac{n!}{\left(n-r\right)!}$$

به این نتیجه می‌رسیم:

$$₈P₃=\frac{8!}{\left(8-3\right)!}=\frac{8!}{5!}=\frac{8×7×6×5×4×\ldots×1}{5×4×\ldots×1}=8×7×6=336$$

شما می‌توانید به راحتی در ماشین حساب جایگشت، عدد ۸ را در کادر n (اشیاء) و عدد ۳ را در کادر r (نمونه) وارد کرده و با کلیک بر روی «محاسبه»، پاسخ ۳۳۶ را دریافت کنید.

جایگشت‌ها و ترکیب‌ها: تفاوت

یکی دیگر از تکنیک‌های اساسی شمارش در ریاضیات، ترکیب‌ها (Combinations) هستند. ترکیب، نشان‌دهنده روش‌های مختلفی است که می‌توان تعداد کمتری از اشیاء (r) را از بین مجموعه بزرگتری از اشیاء (n) انتخاب کرد. تعداد ترکیب‌های r شیء از میان n شیء با نماد ₙCᵣ نشان داده می‌شود.

در تعریف جایگشت تأکید کردیم که «ترتیب» یا چیدمان بسیار مهم است. دقیقاً همین موضوع، مرز تفاوت میان جایگشت و ترکیب را مشخص می‌کند؛ در محاسبه ترکیب‌ها، ترتیب قرارگیری اهمیتی ندارد.

به عنوان مثال، پیش‌تر اشاره کردیم که جایگشت‌های حروف X، Y و Z در گروه‌های دوحرفی شامل ۶ حالت است.

با این حال، ترکیب‌های همین حروف در گروه‌های دوحرفی تنها شامل XY، XZ و YZ می‌شود؛ یعنی فقط ۳ ترکیب. دلیل این امر آن است که در بحث ترکیب، XY و YX یکسان در نظر گرفته می‌شوند. این قانون برای XZ و ZX، و همچنین YZ و ZY نیز صدق می‌کند. بنابراین، ترتیب چیدمان در محاسبه ترکیب‌ها بی‌اثر است.

فرمول محاسبه تعداد ترکیب‌های r شیء از میان n شیء به صورت زیر است:

$$ₙCᵣ=\frac{n!}{r!\left(n-r\right)!}$$

مثالی از محاسبه ترکیب‌ها

در مثال دونده‌ها، تعداد روش‌هایی را که می‌توانستیم مقام‌های اول، دوم و سوم را از بین ۸ دونده مشخص کنیم، به دست آوردیم (جایگشت). اکنون فرض کنید فقط می‌خواهیم بدانیم چند روش برای انتخاب «۳ مدال‌آور» از بین این ۸ دونده وجود دارد، بدون اینکه رنگ مدال یا مقام آن‌ها (اول، دوم یا سوم) برایمان مهم باشد. هدف فقط انتخاب ۳ نفری است که روی سکو می‌روند.

در این حالت، باید از فرمول ترکیب استفاده کنیم زیرا ترتیب مدال‌ها اهمیتی ندارد:

$$ₙCᵣ = \frac{n!}{r!(n-r)!}$$

محاسبه تعداد روش‌های انتخاب ۳ مدال‌آور از میان ۸ دونده به شرح زیر است:

$$₈C₃=\frac{8!}{3! × \left(8-3\right)!}=\frac{8!}{3! × 5!}=\frac{8 × 7 × 6}{3 × 2 × 1}=8×7=56$$

مثال‌هایی از محاسبه جایگشت‌ها

1. یک تهیه‌کننده برنامه‌های خبری می‌خواهد ۳ نفر از ۵ کارشناس مهمان را برای حضور در برنامه تحلیلی خود انتخاب کند. ترتیب ورود و سخنرانی مهمانان برای برنامه مهم است. این تهیه‌کننده چند روش مختلف برای زمان‌بندی ارائه‌ی این کارشناسان دارد؟ از آنجایی که ترتیب اهمیت دارد و یک کارشناس نمی‌تواند دو بار در یک برنامه صحبت کند (بدون تکرار)، می‌توانیم از فرمول جایگشت‌ها استفاده کنیم:

$$ₙPᵣ = \frac{n!}{(n-r)!}$$

$$₅P₃ = \frac{5!}{(5-3)!} = \frac{5!}{2!} = 5 × 4 × 3 = 60$$

همان‌طور که می‌بینید، تهیه‌کننده ۶۰ روش مختلف برای سازماندهی کارشناسان برنامه خود در اختیار دارد.

2. یک منتقد رستوران، ۱۰ مکان عالی در سطح شهر که سوشی سرو می‌کنند را انتخاب کرده است تا ۳ رستوران برتر را رتبه‌بندی کند. این رستوران‌ها باید به گونه‌ای معرفی شوند که جایگاه آن‌ها (اول، دوم، سوم) در رتبه‌بندی کاملاً مشخص باشد. همچنین، یک رستوران نمی‌تواند بیش از یک بار در لیست برترین‌ها قرار گیرد. شرایط مسئله دقیقاً با قوانین جایگشت همخوانی دارد: ترتیب مهم است و تکرار مجاز نیست. پس فرمول را اعمال می‌کنیم:

$$ₙPᵣ = \frac{n!}{(n-r)!}$$

$$₁₀P₃ = \frac{10!}{(10-3)!} = \frac{10!}{7!} = 10 × 9 × 8 = 720$$

3. وقتی می‌گوییم «ترتیب» در جایگشت‌ها مهم است، لزوماً به این معنا نیست که ترتیب باید به صورت اعداد (مثلاً ۱ تا ۱۰) باشد. ترتیب می‌تواند توسط موقعیت‌ها یا اشیاء خاصی تعریف شود که اعضای مجموعه ما به آن‌ها اختصاص می‌یابند.

به عنوان مثال، مدیر یک شرکت خدمات و تعمیرات ساختمانی را در نظر بگیرید. او امروز ۴ سفارش مختلف برای رنگ‌آمیزی دارد. این پروژه‌ها شامل دفتر یک آژانس ویزا، یک انبار در یک کارخانه، یک فروشگاه لباس و یک اتاق در خانه‌ای خصوصی هستند که در واقع معادل موقعیت‌های ۱، ۲، ۳ و ۴ محسوب می‌شوند. اگر این شرکت ۶ نقاش آماده به کار داشته باشد، توزیع به این شکل خواهد بود:

• 6 نقاش که می‌توانند به دفتر آژانس ویزا اختصاص یابند،
• 5 نقاش باقی‌مانده برای اعزام به انبار کارخانه،
• 4 نقاش باقی‌مانده برای کار در فروشگاه لباس،
• 3 نقاش باقی‌مانده که می‌توانند به اتاق خانه خصوصی فرستاده شوند.

به صورت شهودی و با استفاده از اصل شمارش، می‌توانیم تعداد انتخاب‌ها را این‌گونه محاسبه کنیم: 6 × 5 × 4 × 3 = 360.

از آنجا که تخصیص هر نقاش به یک پروژه خاص متفاوت است (ترتیب اهمیت دارد) و یک نقاش در یک روز نمی‌تواند در دو پروژه هم‌زمان کار کند (تکرار مجاز نیست)، می‌توانیم از همان فرمول آشنای جایگشت استفاده کنیم:

$$ₙPᵣ = \frac{n!}{(n-r)!}$$

$$\frac{6!}{(6-4)!} = \frac{6!}{2!} = 6 × 5 × 4 × 3 = 360$$

در نتیجه، مدیر این شرکت خدماتی می‌تواند با ۳۶۰ روش مختلف، سفارشات امروز را میان نقاش‌های در دسترس خود توزیع و مدیریت کند.