Calcolatore di Rapporti

Calcolatore di rapporti

Questo calcolatore di rapporti ti permette di semplificare le frazioni, trovare i termini incogniti nelle proporzioni e verificare se due rapporti dati sono equivalenti. Lo strumento accetta come input numeri interi, numeri decimali e numeri in notazione scientifica (E). Un esempio di numero in notazione scientifica è 2e5, che equivale a 2 × 10⁵. È previsto un limite di 15 caratteri, il che significa che il valore inserito in ciascun campo (A, B, C o D) non può superare tale lunghezza.

Istruzioni per l'uso

1. Per utilizzare lo strumento come convertitore, ovvero per semplificare un rapporto (ridurlo ai minimi termini), inserisci il numeratore e il denominatore in uno dei due lati della proporzione. Puoi riempire i campi A e B, oppure C e D. Successivamente, clicca su "Calcola". Il calcolatore elaborerà il rapporto fornito e restituirà il risultato ridotto ai minimi termini.

Se i valori noti sono stati inseriti come numeri interi o in notazione scientifica, il calcolatore mostrerà nel dettaglio tutti i passaggi matematici della risoluzione.

Se il valore inserito è già ridotto ai minimi termini, lo strumento troverà un rapporto equivalente moltiplicando sia il numeratore che il denominatore della frazione per 2.

2. Per utilizzare il calcolatore per trovare il valore incognito in una proporzione, inserisci i tre valori noti e lascia vuoto il campo che desideri calcolare. Puoi utilizzare qualsiasi campo per l'incognita (A, B, C o D). Dopo aver inserito i tre valori, clicca su "Calcola". Il sistema risolverà la proporzione restituendo tutti e quattro i valori. Se i dati inseriti sono numeri interi, verrà mostrato anche il procedimento completo.

Definizioni e formule importanti

In matematica, un rapporto è definito come una coppia ordinata di numeri a e b. Utilizziamo i rapporti per confrontare due grandezze, dividendo un numero per un altro.

Il rapporto tra a e b può essere scritto come \$\frac{a}{b}\$, a/b oppure a:b. Si assume sempre che b ≠ 0, poiché b rappresenta il denominatore della frazione. I rapporti sono ampiamente utilizzati nella vita reale per confrontare due quantità qualsiasi.

Ad esempio, se in una classe ci sono 2 ragazze e 6 ragazzi, il rapporto ragazze/ragazzi sarà di 2:6 o, in forma semplificata, 1:3. Questo significa che per ogni ragazza ci sono esattamente tre ragazzi.

Una proporzione è un'uguaglianza tra due rapporti. Nel nostro esempio precedente, la proporzione potrebbe essere scritta nei seguenti modi:

$$2:6::1:3$$

oppure

$$\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$$

oppure

$$2:6=1:3$$

In una proporzione a:b=c:d, il secondo e il terzo termine (b e c) sono chiamati "medi" della proporzione. Il primo e l'ultimo termine (a e d) sono definiti "estremi". Le proporzioni possiedono una proprietà fondamentale di vitale importanza, nota proprio come Proprietà fondamentale delle proporzioni.

La proprietà fondamentale delle proporzioni

In qualsiasi proporzione a:b=c:d, il prodotto dei medi (b × c) è sempre uguale al prodotto degli estremi (a × d). Espresso in termini matematici:

Se

$$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$$

Allora

$$a × d = b × c$$

Questa formula ci permette di calcolare il termine incognito di una proporzione. Ad esempio, se dovessimo risolvere la proporzione calcolando il valore di a, riorganizzeremmo la formula in questo modo:

$$a=\frac{b × c}{d}$$

Vediamo ora alcuni esempi pratici di calcolo per tutti e tre gli scenari descritti.

Esempio 1

Jane è un architetto paesaggista incaricata di progettare uno spazio esterno per un cliente. L'area totale misura 216 metri quadrati e Jane ha elaborato un progetto in cui la piscina occupa 64 metri quadrati. Poco prima della presentazione, il cliente le comunica una nuova richiesta: la piscina deve occupare almeno un terzo (1/3) dell'intero spazio. Jane dovrà rifare il progetto da zero o potrà presentare quello già pronto?

Per capire se il progetto attuale è valido, Jane deve calcolare il rapporto tra l'area della piscina e l'area esterna totale, per poi confrontare questo valore con 1/3.

Sappiamo che la piscina occupa 64 metri quadrati, mentre l'area totale è di 216 metri quadrati. Pertanto, il rapporto richiesto è: 64/216.

Questo rapporto non è ai minimi termini. Per semplificarlo, dobbiamo dividere sia il numeratore che il denominatore per il loro Massimo Comun Divisore (MCD).

Il Massimo Comun Divisore tra il numeratore (64) e il denominatore (216) è 8. Dividendo entrambi i termini per l'MCD, otteniamo:

$$\frac{64}{8} = 8$$

$$\frac{216}{8} = 27$$

Pertanto:

$$\frac{64}{216} = \frac{8}{27}$$

La piscina occupa gli 8/27 dell'area esterna totale. Il cliente, tuttavia, vuole che ne occupi almeno 1/3, che equivale a 9/27 dell'area totale. Essendo 8/27 < 9/27, purtroppo Jane dovrà creare un nuovo progetto.

Semplificare il rapporto

Per trovare rapidamente la soluzione a questo problema utilizzando il calcolatore, ti basta inserire 64 e 216 rispettivamente nei campi A e B (oppure C e D), e cliccare su "Calcola".

Risposta:

$$\frac{64}{216} = \frac{8}{27}$$

Trovare un valore incognito

Trova il termine incognito nella seguente proporzione:

$$\frac{3}{99} = \frac{4}{x}$$

Per risolvere la proporzione e trovare il valore della x, applichiamo la proprietà fondamentale delle proporzioni, secondo cui il prodotto dei medi è sempre uguale al prodotto degli estremi. Possiamo riscrivere la proporzione data nel seguente modo:

$$\frac{3}{99} = \frac{4}{x}$$

In questa proporzione, 99 e 4 sono i medi, mentre 3 e l'incognita x sono gli estremi. Di conseguenza:

$$3 × x = 4 × 99$$

e

$$x = \frac{4 × 99}{3}$$

$$x = \frac{396}{3}$$

$$x = 132$$

Risposta:

$$\frac{3}{99} = \frac{4}{132}$$

Esempio 2

Helen ha bisogno di ingaggiare un traduttore per convertire diversi articoli dall'inglese al giapponese. Il sito web del professionista indica una tariffa media di 20$ per un pacchetto di 600 parole. Gli articoli di Helen contano in totale circa 20.000 parole. Come può calcolare il costo totale dell'ordine se il traduttore non le concede alcuno sconto?

Inserisci le prime due unità corrispondenti nei campi A e B, e le successive due unità nei campi C e D.

In questo esempio, useremo i campi A e C per il numero di parole, e B e D per il prezzo in dollari. I campi A e B rappresentano il primo scenario (la tariffa base del traduttore), mentre i campi C e D rappresentano il secondo scenario (il costo dell'ordine di Helen).

• Nel campo A, inserisci il numero di parole della tariffa base: 600.
• Nel campo B, inserisci il prezzo richiesto per le 600 parole, ovvero 20$.
• Nel campo C, inserisci il numero totale di parole del tuo ordine: 20.000.
• Nel campo D apparirà automaticamente il risultato: 666,66666666667.

A questo punto, puoi arrotondare il risultato a 667$. Ricorda che Helen potrebbe chiedere uno sconto per l'alto volume di parole, ma la cifra di 667$ costituisce un'ottima base di partenza per la trattativa.

Esempio 3

Jack è in vacanza in Indonesia e vuole cambiare i suoi dollari nella valuta locale, la rupia indonesiana. Gli servono contanti per pagare l'affitto mensile di un maxi scooter Yamaha X-Max, che costa 3.500.000 rupie.

Sa che oggi il tasso di cambio presso il cambiavalute più vicino all'hotel è di 14.750 rupie per un dollaro statunitense. Quanti dollari dovrà cambiare per ottenere esattamente 3.500.000 rupie?

Anche in questo caso, utilizzeremo le unità corrispondenti accoppiando i campi.

In questo esempio, useremo A e C per le rupie indonesiane e B e D per i dollari statunitensi.

• Nel campo A, inserisci l'ammontare di rupie equivalenti a 1$, ovvero 14.750.
• Nel campo B, inserisci l'equivalente in dollari, ovvero 1$.
• Nel campo C, inserisci il numero totale di rupie di cui hai bisogno: 3.500.000.
• Nel campo D apparirà l'importo necessario in dollari, ovvero 237,28813559322.

Questo significa che, ammesso che il cambiavalute non applichi commissioni aggiuntive, Jack dovrà cambiare almeno 237$ per pagare l'affitto mensile dello scooter. Probabilmente, cambierà una cifra tonda, come 250$ o 300$.

Utilizzare il calcolatore per verificare un'equivalenza

Per utilizzare il calcolatore per verificare se due rapporti formano una proporzione (ad esempio, 4/16 e 3/12), inserisci 4 nel campo A e 16 nel campo B per completare il primo rapporto. Inserisci poi 3 nel campo C e 12 nel campo D per completare l'altro lato dell'equazione. Infine, premi "Calcola".

Risposta:

$$\frac{4}{16} = \frac{3}{12}$$

è VERO (i due rapporti sono equivalenti).

Proprietà delle proporzioni

Come abbiamo visto, la proprietà più importante (e utile) è la proprietà fondamentale (il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi). Tuttavia, le proporzioni godono anche di altre preziose proprietà matematiche.

Proprietà del permutare (i medi o gli estremi):

Se

$$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$$

Allora, scambiando di posto i medi tra loro, la proporzione rimane valida:

$$\frac{a}{c}=\frac{b}{d}$$

Allo stesso modo, permutando (scambiando) gli estremi, risulta vero che:

$$\frac{d}{b}=\frac{c}{a}$$

Proprietà del comporre e dello scomporre:

Se

$$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$$

Allora è possibile applicare la proprietà del comporre come segue (la somma del primo e del secondo termine sta al primo o al secondo, come la somma del terzo e del quarto sta al terzo o al quarto):

$$\frac{a+b}{b}=\frac{c+d}{d}$$

E la proprietà dello scomporre nel seguente modo:

$$\frac{a-b}{b}=\frac{c-d}{d}$$

Comporre una proporzione per addizione o sottrazione (proprietà delle catene di rapporti): Se

$$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$$

Allora è matematicamente vero che la somma o la differenza degli antecedenti sta alla somma o differenza dei conseguenti, come un antecedente sta al proprio conseguente:

$$\frac{a+c}{b+d}=\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$$

e

$$\frac{a-c}{b-d}=\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$$

Il rapporto aureo (o Sezione Aurea)

In matematica, due grandezze sono in rapporto aureo se il rapporto tra la quantità maggiore e quella minore è uguale al rapporto tra la loro somma e la quantità maggiore. In formula matematica, assumendo che a > b > 0, il rapporto aureo (spesso indicato con la lettera greca Phi $\phi$) può essere scritto nel seguente modo:

$$\frac{a}{b}=\frac{a+b}{a}$$

Il cervello umano percepisce istintivamente la sezione aurea come la massima espressione di armonia e proporzione perfetta tra le parti e il tutto. Non a caso, il rapporto aureo si manifesta con straordinaria frequenza in natura, nella scienza, nell'architettura e nell'arte.