Calcolatore della deviazione standard

Il calcolatore della deviazione standard permette di calcolare rapidamente la deviazione standard di un insieme di numeri. Oltre a questa metrica fondamentale, il nostro strumento fornisce informazioni statistiche aggiuntive, tra cui la media e la varianza del tuo dataset. Inoltre, questo calcolatore statistico determina l'intervallo di confidenza per diversi livelli di probabilità e genera una pratica tabella per la distribuzione delle frequenze.

Per utilizzare lo strumento, ti basta inserire i valori separati da virgole. Successivamente, seleziona se i dati rappresentano un'intera popolazione o un campione statistico e clicca sul pulsante "Calcola".

La Deviazione Standard

La deviazione standard (o scarto quadratico medio) è una misura statistica che definisce il grado di dispersione o variabilità all'interno di un dataset. Indica la distanza media dei singoli valori rispetto alla media aritmetica dell'insieme di dati. Quanto più piccola è la deviazione standard, tanto più i dati risultano concentrati attorno alla media. Al contrario, una deviazione standard elevata indica che i dati sono molto "sparsi" rispetto al valore medio. Matematicamente, la deviazione standard corrisponde alla radice quadrata di un'altra fondamentale misura di dispersione: la varianza.

Il calcolo della deviazione standard dipende dalla natura del dataset. Se i dati includono tutti gli elementi di interesse, si parla di deviazione standard della popolazione. Se, invece, i dati rappresentano solo una porzione estratta da un gruppo più ampio, la metrica prende il nome di deviazione standard campionaria (o del campione).

La deviazione standard della popolazione

La deviazione standard della popolazione si calcola quando il dataset include l'intera popolazione di interesse, ovvero comprende tutte le osservazioni o gli individui presi in esame. Questa metrica è universalmente indicata con la lettera greca minuscola σ (Sigma). La formula per calcolare la deviazione standard della popolazione è la seguente:

$$\sigma=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{N}{(x_i-\mu)^2}}{N}}$$

Dove:

• Σ è la lettera greca maiuscola Sigma, utilizzata in matematica per indicare una sommatoria;
• xᵢ rappresenta i singoli valori (ciascuna osservazione del dataset), partendo dal primo fino all'N-esimo (l'ultimo);
• μ rappresenta la media aritmetica della popolazione;
• N è la dimensione totale della popolazione (il numero di elementi).

Esempio di calcolo della deviazione standard della popolazione generale

Il seguente esempio mostra come calcolare la deviazione standard su un dataset che rappresenta un'intera popolazione.

Nel mondo finanziario, le azioni sono considerate asset rischiosi a causa della loro elevata volatilità rispetto ad altre categorie di investimento. Un gestore di portafogli desidera analizzare la volatilità di un determinato titolo azionario nel mese precedente. Ha deciso che non consiglierà ai propri clienti azioni la cui deviazione standard sia maggiore o uguale alla media del prezzo, ritenendole "troppo rischiose".

Di seguito sono elencati tutti i prezzi di chiusura giornalieri (in USD) del titolo per il mese in questione. Calcoliamo la deviazione standard per determinare se il gestore valuterà l'azione come "troppo rischiosa":

1,31, 1,30, 1,36, 1,40, 1,40, 1,41, 1,27, 1,19, 1,15, 1,12, 0,99, 1,00, 0,97, 0,94, 0,88, 0,90, 0,86, 0,88, 0,80, 0,81

Poiché il gestore è interessato esclusivamente all'andamento del mese precedente e i dati forniti coprono tutte le sessioni di negoziazione di quel mese, abbiamo a disposizione l'intera popolazione statistica. Di conseguenza, utilizzeremo la formula della deviazione standard della popolazione.

Per procedere al calcolo, è necessario innanzitutto trovare la media. Ricorda che la media μ si ottiene dividendo la somma di tutti i valori per il numero totale delle osservazioni.

$$\mu=\frac{1,31+1,30+1,36+1,40+1,40+1,41+1,27+1,19+1,15+1,12+0,99+1,00+0,97+0,94+0,88+0,90+0,86+0,88+0,80+0,81}{20}=1,097$$

Successivamente, sottrai la media da ciascun valore ed eleva al quadrato la differenza ottenuta. Somma quindi tutti questi quadrati e dividi il totale per il numero delle osservazioni. Il risultato di questa operazione è la varianza σ².

$$\sigma^2=\frac{\left(1,31-1,097\right)^2+\left(1,30-1,097\right)^2+\left(1,36-1,097\right)^2+\left(1,40-1,097\right)^2+\ldots+\left(0,81-1,097\right)^2}{20}=0,045031$$

Infine, estrai la radice quadrata della varianza per ottenere la deviazione standard.

$$\sigma=\sqrt{0,045031}\approx0,21$$

Come possiamo notare, la deviazione standard (0,21) dei prezzi di questo titolo è nettamente inferiore alla sua media (1,097). Pertanto, il gestore considererà il titolo accettabile e non "troppo rischioso".

La Deviazione Standard Campionaria

La deviazione standard campionaria viene utilizzata quando il dataset analizzato rappresenta solo un campione estratto dalla popolazione di interesse. In questo caso, i dati costituiscono un sottoinsieme ridotto rispetto alla totalità delle osservazioni possibili. Questa metrica è indicata convenzionalmente con la lettera s. La formula per calcolare la deviazione standard del campione (o scarto quadratico medio campionario) è la seguente:

$$s=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}\left(x_i-\bar{x}\right)^2}{n-1}}$$

Dove:

• Σ indica la sommatoria;
• xᵢ rappresenta i singoli valori all'interno del campione;
• x̄ rappresenta la media campionaria;
• n è la dimensione del campione (numero di elementi osservati).

Vediamo ora come calcolare la deviazione standard su dati campionari riprendendo l'esempio precedente. In questo scenario, però, il gestore non ha accesso allo storico completo dei prezzi di chiusura del mese passato, ma dispone soltanto delle quotazioni relative a 5 giorni scelti casualmente. Di conseguenza, dovrà stimare la deviazione standard (e la volatilità) affidandosi esclusivamente ai dati del campione a sua disposizione.

Supponiamo che i prezzi di chiusura di questi 5 giorni siano:

1,31, 1,40, 0,86, 0,88, 1,40

Poiché l'obiettivo del gestore riguarda l'intero mese precedente, ma i dati si limitano a un piccolo sottoinsieme (solo 5 giorni), stiamo operando con un campione. Applicheremo quindi la formula della deviazione standard campionaria.

Come primo passo, calcoliamo la media del campione (x̄).

$$\bar{x}=\frac{1,31+1,40+0,86+0,88+1,40}{5}=1,17$$

Successivamente, calcoliamo la varianza campionaria s² ricordando di dividere per n-1 invece che per n.

$$s^2=\frac{\left(1,31-1,17\right)^2+\left(1,40-1,17\right)^2+\left(0,86-1,17\right)^2+\left(0,88-1,17\right)^2+\left(1,40-1,17\right)^2}{5-1}=0,0764$$

Infine, estraiamo la radice quadrata della varianza per trovare la deviazione standard del campione.

$$s=\sqrt{0,0764}\approx 0,28$$

Margine di Errore

Una delle principali applicazioni della deviazione standard è il calcolo di un intervallo di valori statisticamente "accettabile". Questo concetto è fondamentale per il controllo qualità nell'industria e nell'analisi predittiva. Presumendo che i dati in esame seguano una distribuzione normale, tale intervallo prende il nome di intervallo di confidenza (analizzato in dettaglio nella sezione seguente). Gli intervalli di confidenza sono sempre associati a specifici livelli di confidenza, espressi in percentuale.

Il margine di errore è una componente chiave dell'intervallo di confidenza, in quanto ne determina l'ampiezza definendo i valori massimi e minimi tollerati per la grandezza in analisi.

Il margine di errore si calcola con la seguente formula:

$$Margine\ di\ errore = z_{\alpha/2}\left(\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$$

Questa formula si applica quando la deviazione standard della popolazione σ è nota e, contemporaneamente, il campione analizzato è sufficientemente ampio (solitamente n > 30).

Nel caso in cui la deviazione standard della popolazione sia ignota e il campione risulti piccolo (solitamente n ≤ 30), ricorriamo invece a un'altra formula:

$$Margine\ di\ errore = t_{n-1,\alpha/2}\left(\frac{s}{\sqrt{n}}\right)$$

In questa variante utilizziamo la deviazione standard campionaria s, proprio per compensare l'assenza del dato sulla popolazione σ.

I termini \$z_{\alpha/2}\$ e \$t_{n-1, \alpha/2}\$ vengono determinati utilizzando rispettivamente le tabelle della statistica Z e della statistica t, e prendono il nome di valori critici. Si tratta di costanti matematiche strettamente associate al livello di confidenza prescelto.

I livelli di confidenza più utilizzati in statistica sono il 90%, il 95% e il 99%. I rispettivi valori critici \$z_{\alpha/2}\$ sono 1,645 (per il 90%), 1,96 (per il 95%) e 2,575 (per il 99%).

Le espressioni \$\frac{\sigma}{\sqrt n}\$ e \$\frac{s}{\sqrt n}\$ rappresentano il cosiddetto errore standard.

• \$\frac{\sigma}{\sqrt n}\$ si usa quando è nota la deviazione standard della popolazione σ e lavoriamo con un campione ampio (solitamente n > 30).
• \$\frac{s}{\sqrt n}\$ si usa nei casi in cui la deviazione standard della popolazione sia ignota e si disponga di un campione ridotto (solitamente n ≤ 30). In questa casistica, in mancanza del valore σ relativo all'intera popolazione, dobbiamo affidarci alla deviazione standard s del campione a nostra disposizione.

L'Intervallo di Confidenza

Come accennato in precedenza, l'intervallo di confidenza definisce un "range" (o intervallo di valori) all'interno del quale è statisticamente probabile che ricada una determinata grandezza, sulla base di un livello di confidenza stabilito.

Ad esempio, potremmo affermare che l'altezza media delle ragazze di 13 anni sia compresa tra 59 e 66 pollici con un livello di confidenza del 90%. Questo significa che, selezionando ripetutamente campioni casuali di ragazze tredicenni, in circa il 90% dei casi la loro altezza media rientrerà nei valori indicati.

L'intervallo di confidenza si calcola con la formula:

$$\bar{x}± z_{\alpha/2}\left(\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$$

• x̄ è la media campionaria;
• \$z_{\alpha/2}\$ è il valore critico di Z;
• σ è la deviazione standard della popolazione;
• n è il numero di osservazioni (dimensione del campione).

Quando la deviazione standard della popolazione σ è ignota e dobbiamo fare affidamento sulla deviazione standard campionaria s, si utilizza la seguente variante:

$$\bar{x}± t_{n-1,\alpha/2}\left(\frac{s}{\sqrt{n}}\right)$$

• x̄ è la media campionaria;
• \$t_{n-1,\alpha/2}\$ è il valore critico di t;
• s è la deviazione standard del campione;
• n è il numero di osservazioni.

Come visto nel capitolo precedente, le espressioni matematiche \$z_{\alpha/2}\left(\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)\$ e \$t_{n-1,\alpha/2}\left(\frac{s}{\sqrt{n}}\right)\$ rappresentano i margini di errore dell'intervallo.

Esempio di calcolo dell'intervallo di confidenza

Supponiamo di sapere che le fluttuazioni giornaliere del titolo azionario che stiamo analizzando seguano una distribuzione normale. Abbiamo a disposizione il seguente campione dei prezzi di chiusura:

1,31, 1,36, 1,40, 1,27, 1,15, 0,99, 0,97, 0,88, 0,86, 0,80

Il nostro obiettivo è calcolare il range entro il quale oscilleranno i prezzi del titolo con un livello di confidenza del 95%.

Trattandosi di un campione ridotto in cui la deviazione standard della popolazione generale è ignota, faremo riferimento alla deviazione standard campionaria e utilizzeremo la formula:

$$\bar{x}± t_{n-1,\alpha/2}\left(\frac{s}{\sqrt{n}}\right)$$

• x̄ è la media campionaria, pari a 1,10;
• \$t_{n-1,\alpha/2}\$ è il valore critico, con \$t_{9, 0.025}\$ = 2,26 (il valore critico per una specifica dimensione del campione e livello di confidenza si ricava consultando la tabella della distribuzione t o Z);
• s è la deviazione standard del campione, pari a 0,23;
• n è il numero di osservazioni, ovvero 10;
• \$\frac{s}{\sqrt n}\$ è l’errore standard, calcolato come \$\frac{0.23}{\sqrt{10}}=0.07\$.

Inserendo i valori all'interno della formula

$$\bar{x}± t_{n-1,\alpha/2}\left(\frac{s}{\sqrt{n}}\right)$$

otteniamo:

$$1,10 - 2,26 (\frac{0,23}{\sqrt{10}}) = 1,10 - 2,26 (\frac{0,23}{3,16}) = 1,10 - 2,26 × 0,07 = 1,10 - 0,16 = 0,94$$

$$1,10 + 2,26 (\frac{0,23}{\sqrt{10}}) = 1,10 + 2,26 (\frac{0,23}{3,16}) = 1,10 + 2,26 × 0,07 = 1,10 + 0,16 = 1,26$$

Questo risultato ci permette di affermare con una certezza del 95% che il prezzo medio delle azioni analizzate rientrerà nell'intervallo di confidenza compreso tra (0,94, 1,26).