Steigungsrechner

Steigungsrechner

Unser kostenloser Steigungsrechner ist ein praktisches Online-Tool, mit dem Sie schnell und präzise die Steigung einer Geraden berechnen können. In der Mathematik beschreibt die Steigung (auch Anstieg genannt), wie stark sich die vertikale y-Koordinate im Verhältnis zur horizontalen x-Koordinate verändert. Egal ob für Schule, Studium oder Beruf – dieses Tool liefert Ihnen sofort exakte Ergebnisse.

Verwendete Notation

In der Mathematik wird die Steigung standardmäßig mit dem Buchstaben m bezeichnet. Die obige Grafik veranschaulicht alle weiteren Parameter, die in unserem Rechner verwendet werden. Der Steigungsrechner unterstützt Sie bei zwei unterschiedlichen Berechnungsszenarien:

1. Wenn die Koordinaten von zwei Punkten auf der Geraden bekannt sind: In der Grafik entsprechen diese den Koordinaten (x₁,y₁) und (x₂,y₂). Aus diesen Angaben berechnet das Tool die genaue Steigung m der Geraden.

2. Wenn die Koordinaten eines Startpunktes (x₁,y₁), der Abstand d und die Steigung m der Geraden bekannt sind: In diesem Fall ermittelt der Rechner die exakten Koordinaten des zweiten Punktes (x₂,y₂) auf der Geraden.

Bei beiden Varianten berechnet das Online-Tool automatisch alle weiteren relevanten Eigenschaften der Geraden: die horizontale Differenz ∆x, die vertikale Differenz ∆y, den Neigungswinkel θ (Theta) sowie die Länge beziehungsweise den Abstand d.

Hinweise zur Verwendung

Analysieren Sie zunächst Ihre gegebenen Werte und wählen Sie den passenden Berechnungsmodus aus. Sind Ihnen zwei Punkte bekannt, wählen Sie die Option „Wenn die 2 Punkte bekannt sind“.

Kennen Sie hingegen nur einen Punkt, benötigen Sie für die Berechnung zusätzlich den Abstand d sowie die Steigung m. In diesem Fall wählen Sie die Option „Wenn 1 Punkt und die Steigung bekannt sind“.

Wenn die 2 Punkte bekannt sind

Tragen Sie die bekannten Koordinaten der beiden Punkte in die entsprechenden Felder ein und klicken Sie auf „Berechnen“. Der Steigungsrechner liefert Ihnen umgehend folgende Ergebnisse:

• die Steigung m,
• den Neigungswinkel θ,
• die Länge der Strecke d,
• die horizontale Differenz ∆x,
• die vertikale Differenz ∆y.

Zusätzlich zeigt Ihnen das Tool die verwendeten mathematischen Formeln, den detaillierten Rechenweg zur Bestimmung der charakteristischen Werte sowie die vollständige Geradengleichung. Zur optimalen visuellen Darstellung wird die Gerade zudem schematisch gezeichnet.

Wenn 1 Punkt und die Steigung bekannt sind

Geben Sie die bekannten Startkoordinaten des Punktes, den Abstand und die Steigung in die vorgesehenen Felder ein. Praktisch: Anstelle der Steigung können Sie auch den „Neigungswinkel (theta o θ)“ in Grad angeben. Es reicht aus, nur einen der beiden Werte (entweder m oder θ) einzutragen. Sollten Sie versehentlich sowohl m als auch θ eingeben, priorisiert der Rechner die Steigung m und ignoriert den Winkel für die Berechnung.

Klicken Sie anschließend auf „Berechnen“. Das Tool liefert Ihnen daraufhin: die Koordinaten des zweiten Punktes (x₂,y₂), die horizontale Änderung ∆x, die vertikale Änderung ∆y sowie die Streckenlänge d. Wurde die Steigung m für die Berechnung genutzt, ermittelt der Rechner zusätzlich den Winkel θ – und umgekehrt. Auch hier erhalten Sie die exakte Geradengleichung inklusive einer übersichtlichen grafischen Darstellung der Geraden.

Steigungsformel

Wie bereits erwähnt, definiert sich die Steigung einer Geraden durch die Veränderung der vertikalen Koordinate (y-Koordinate) geteilt durch die Veränderung der horizontalen Koordinate (x-Koordinate):

$$m=\frac{y₂-y₁}{x₂-x₁}=\frac{∆y}{∆x}=tanθ$$

Diese Gleichung ist als Steigungsformel bekannt. Mit ihr lässt sich der Anstieg jeder beliebigen Geraden berechnen, sofern zwei Punkte auf dieser Linie bekannt sind. Die Steigung m gibt dabei Auskunft über die Richtung und die Steilheit des Graphen:

• Verläuft die Gerade von links nach rechts aufwärts, gilt y₂>y₁, wenn x₂>x₁. Die Steigung ist in diesem Fall immer positiv (m>0). Man spricht von einer streng monoton steigenden Geraden.

• Verläuft die Gerade von links nach rechts abwärts, gilt y₂< y₁, wenn x₂>x₁. Die Steigung ist in diesem Fall negativ (m<0). Man spricht von einer streng monoton fallenden Geraden.

• Verläuft die Gerade horizontal (waagerecht), gilt y₂=y₁ und somit y₂-y₁=0. In diesem Fall ist die Steigung gleich Null: m=0.

• Verläuft die Gerade vertikal (senkrecht), gilt x₂=x₁ und x₂-x₁=0. Da die Formel nun eine Null im Nenner aufweist und eine Division durch Null nicht möglich ist, bleibt die Steigung in diesem Fall undefiniert.

Geradengleichung

Jede lineare Funktion lässt sich als Geradengleichung in folgender Form darstellen:

$$y=mx+b$$

Diese Standardform wird im Deutschen oft als Normalform oder Hauptform der Geradengleichung bezeichnet. Der Graph dieser Gleichung ist eine Gerade, bei der m die Steigung darstellt. Die Variable b steht für den sogenannten y-Achsenabschnitt – also den Punkt, an dem die Gerade die y-Achse schneidet (da y=b gilt, wenn x=0).

Wenn die Koordinaten eines Punktes auf der Geraden und die Steigung bekannt sind, lässt sich die Gleichung alternativ in der sogenannten Punktsteigungsform aufschreiben:

$$y-y₁=m(x-x₁)$$

Diese Form der Geradengleichung ist besonders hilfreich, um den y-Achsenabschnitt einer Geraden schnell und einfach zu ermitteln.

Berechnungsbeispiel

Nehmen wir für ein praktisches Beispiel an, wir kennen die Koordinaten von zwei Punkten auf einer Geraden.

Gegeben:

$$x₁=1$$

$$y₁=1$$

$$x₂=9$$

$$y₂=25$$

Lassen Sie uns zunächst die Steigung m dieser Linie berechnen:

$$m=\frac{y₂-y₁}{x₂-x₁}=\frac{∆y}{∆x}$$

$$m=\frac{25-1}{9-1}=\frac{24}{8}=3$$

$$m=3$$

Im nächsten Schritt ermitteln wir die weiteren Eigenschaften der Geraden. Da wir wissen, dass m=tanθ gilt, lässt sich der Neigungswinkel θ wie folgt berechnen:

$$\theta=\arctan{\left(m\right)}= \arctan\frac{∆y}{∆x} = 71.565051177078°$$

Außerdem berechnen wir die Differenzen:

$$∆x=9-1=8$$

$$∆y=25-1=24$$

Den Abstand (die Streckenlänge) d ermitteln wir mit Hilfe des Satzes des Pythagoras. Dieser besagt, dass in einem rechtwinkligen Dreieck das Quadrat der Hypotenuse gleich der Summe der Kathetenquadrate ist.

Wenden wir diesen Satz auf unser Steigungsdreieck an, erhalten wir:

$$d^2=∆x^2+∆y^2$$

Daraus folgt:

$$d=\sqrt{∆x^2+∆y^2}$$

$$d=\sqrt{8^2+{24}^2}=\sqrt{640}$$

$$d=25,298221281347$$

Um den y-Achsenabschnitt der Geraden zu bestimmen, nutzen wir die Punktsteigungsform, in die wir unsere ermittelten Werte für m, x₁ und y₁ einsetzen:

$$y-1=3\left(x-1\right)$$

$$y=3x-2$$

Folglich ist -2 der y-Achsenabschnitt der Geraden. Das bedeutet: Wenn x=0 ist, ist y=-2.

Wenn y=0 ist (Berechnung der Nullstelle):

$$x=\frac{2}{3}=0,66666666666667$$

Die obige Skizze veranschaulicht das Ergebnis. In unserem Fall ist die Steigung positiv (m>0), weshalb die Gerade von links nach rechts ansteigt. Wie am Neigungswinkel θ von ca. 72° deutlich zu erkennen ist, verläuft die Gerade zudem relativ steil.